Esta nota está dedicada a algunos comentarios que tuve la ocasión de hacer a propósito de la noción de producto vectorial. Está escrita para los lectores de Paisajes Matemáticos que conozcan un poco de álgebra.

Siempre me ha fascinado el producto vectorial. Tiene hermosas propiedades que asombran cuando uno las encuentra por primera vez, ya que son muy diferentes de aquellas de las operaciones aritméticas a las cuales uno está acostumbrado.

En $\mathbb{R}^3$, el producto de $a=(a_1,a_2,a_3)$ y $b=(b_1,b_2,b_3)$ es
\[a\wedge b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\]

Además de ser bilinear y antisimétrico, verifica una identidad notable, la fórmula del doble producto vectorial :
\[a\wedge (b\wedge c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c\]
en la cual el ’’punto centrado’’ representa el producto escalar :
\[a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]

Esto se extiende de hecho a todo espacio vectorial real $E$ de dimensión 3 dotado de un producto escalar $g$ y de una orientación. Con esos datos, se puede en efecto dotar a $E$ de una multiplicación que tenga las mismas propiedades que el producto vectorial de $\mathbb{R}^3$. Uno lo escribe además con el mismo símbolo, la ’’cuña’’ $\wedge$, y se le llama también producto vectorial [1].

Todos esos productos verifican la identidad del doble producto vectorial, con la condición de reemplazar en la formulación original de esta el producto escalar de $\mathbb R^3$ por $g$.

Esta fórmula, que tiene consecuencias importantes, siempre me ha intrigado y me he preguntado hasta qué punto es característica, es decir si los productos construidos arriba son los únicos en verificarla.

Formalmente, a uno le gustaría saber cuáles productos antisimétricos $\tau$ definidos sobre un espacio vectorial $V$, real y de dimensión finita $n>1$, y cuáles formas bilineales $\beta$ sobre $V$, pueden ocupar los roles del producto vectorial $\wedge$ y del producto escalar $g$ y, en especial, verificar la identidad :

\[\tau(u,\tau(v,w))=\beta(u,w)v-\beta(u,v)w\]

Resulta que uno puede clasificar todos esos triples $(V,\tau,\beta)$. Yo no tengo espacio aquí para explicar el resultado completo -tal vez tampoco sea el lugar para hacerlo- y me limitaré por lo tanto a describir las soluciones para las cuales $\beta$ es no degenerado. En este caso, $n$ vale necesariamente 3 y, salvo isomorfismo, hay exactamente dos triples que responden a las condiciones impuestas.

Para mí eso fue una verdadera sorpresa : el tradicional producto vectorial tenía por lo tanto un hermano gemelo cuya existencia yo ignoraba hasta hace poco. A continuación encontré huellas en un contexto totalmente distinto, en el hermoso librito Hyperbolic Geometry de Birger Iversen [2]. Voy a presentárselas en un instante.

Una consecuencia de la identidad del doble producto vectorial, bastante simple de obtener, es que $\beta$ está completamente determinado por $\tau$ y, en especial, que es simétrico. Esto implica a su vez que $\tau$ verifica otra identidad notable, llamada identidad de Jacobi :

\[\tau(u,\tau(v,w))+\tau(v,\tau(w,u))+\tau(w,\tau(u,v))=0\]

(uno la establece aplicando la identidad del doble producto vectorial a cada uno de sus términos). De ese modo, teniendo en cuenta la antisimetría de $\tau$, el espacio $V$, provisto de la multiplicación $\tau$, es lo que uno llama un álgebra de Lie .

Muchas álgebras de Lie están en subespacios del conjunto de matrices cuadradas, reales o complejas. Su producto, llamado corchete de Lie , es entonces el conmutador de las matrices
\[(A,B)\mapsto [A,B]=AB-BA\]

Nuestros dos gemelos son isomorfos en álgebras de Lie de matrices bien conocidas.

Los productos vectoriales ’’clásicos’’ $(E,\wedge)$, aquellos de los cuales hablé al comienzo de esta nota, son isomorfos en el álgebra de las matrices cuadradas de tamaño $3$ en coeficientes reales y ansimétricos, que usualmente uno nota $so(3)$ [3] :

\[ \begin{pmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -* a_2&a_1&0 \end{pmatrix} \]

Esto no es muy difícil comprobar pero, de acuerdo con el espíritu de esta nota, nosotros no lo haremos.

El ’’gemelo’’ es isomorfo al álgebra $sl(2,\mathbb{R})$ de las matrices reales de dimensión $2$ y de traza nula :
\[ \begin{pmatrix} a&b\\ c&-a \end{pmatrix} \]
mientras que $\beta$ es una forma bilineal de signatura $(+,-,-)$.

La base natural
\[ e= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix},\quad h= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix},\quad f=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix} \]
verifica la tabla de multiplicación
\[ [h,e]=2e,\quad [e,f]=h,\quad [h,f]=-2f \]
No es ’’ortonormada’’ para $\beta$, pero la base
\[ e_1=\frac 1 2(f-e),\quad e_2=\frac 1 2 (f+e), \quad e_3=\frac 1 2 h \]
sí lo es, en el sentido que en esta se cumple
\[ \beta(a,b)=a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3 \]
Además

\[[e_1, e_2]=-e_3,\quad [e_2,e_3]=e_1,\quad [e_3,e_1]=-e_2\]

Estas relaciones subsisten en toda base ortonormal de igual orientación que $(e,h,f)$ y definen al personaje a propósito del cual deseaba decirles estas palabras.