Enunciado

La respuesta es $5$ pares.

Primero observemos que $x$ e $y$ no pueden valer $0$ o $5$.

La ecuación nos da:

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-5}{5x}$

$y= \dfrac{5x}{x-5} = \dfrac{5x-25+25}{x-5}=5 + \dfrac{25}{x-5}.$

Como $y$ es un número entero, $\frac{25}{x-5}$ debe también serlo. Por lo tanto, $x-5$ divide a $25$, por lo que los posibles valores de $x-5$ son $\pm 1$, $\pm 5$ y $\pm 25$. Como $x\neq 0$, tenemos $x-5\neq-5$. Con los otros valores de $x-5$ obtenemos que $x$ puede ser $6$, $4$, $10$, $30$ o $-20$.

Cada uno de estos valores para $x$ nos da un valor de $y$ que satisface la ecuación. Los pares de soluciones $(x,y)$ son entonces: $(6,30)$, $(4,-20)$, $(10,10)$, $(30,6)$ y $(-20,4)$. Por lo tanto, hay $5$ pares que satisfacen la ecuación.