Un desafío por semana

Abril 2018, primer desafío

El 6 abril 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 6 abril 2018
Artículo original : Avril 2018, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 14:

La notación $\lfloor x\rfloor$ significa el mayor entero menor o igual a $x$.
Por ejemplo, $\lfloor 3{,}5\rfloor=3$ y $\lfloor 4\rfloor=4$.
¿Cuántos enteros $x$ cumplen $\lfloor \sqrt{x}\rfloor=10$?

Solución del quinto desafío de marzo:

Enunciado

La respuesta es $d=12$.

Sea $d$ el mayor entero positivo que divide todos los números $n(n+1)(2n+1996)$. Esto significa que $d$ divide a los números:

\[\begin{eqnarray*} 1\times 2\times 1998 &=& 2^2\times 3^3 \times 37\\ 2\times 3\times 2000 &=& 2^5\times 3 \times 5^3, \end{eqnarray*}\]

los cuales son los valores de la expresión cuando $n$ es igual a $1$ y $2$, respectivamente.

Entonces, $d$ tiene que dividir al máximo común divisor de estos dos números, el cual es $12=2^2\times3$.

Veamos ahora que todos los números de este tipo son divisibles por $12$.

Sea $A_n=n(n+1)(2n+1996)$ un número cualquiera. Como $n(n+1)$ es siempre par, $A_n=n(n+1)(2n+1996)=2n(n+1)(n+998)$ es divisible por $4$.

Por otra parte, $A_n=n(n+1)(2n+1996)=2n(n+1)(n+2+996)$. Observemos que como $n$, $n+1$ y $n+2$ son números consecutivos, uno de ellos es divisible por $3$. Si $n$ o $n+1$ es divisible por $3$, $A_n$ es divisible por $3$. Si alguno de ellos no lo es, entonces $n+2$ es divisible por $3$, por lo que $n+2+996$ también lo es. Esto implica que $A_n$ es siempre divisible por $3$.

Finalmente, $A_n$ es divisible por $4$ y $3$, y luego, por $12$. Por lo tanto, $d=12$.

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Para citar este artículo:

— «Abril 2018, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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