Si $V$ es el evento ’’la persona interrogada ha dicho la verdad’’, el enunciado da las probabilidades condicionales $P\left(V\middle|\Pi\right) = \frac 1{20}$ y $P\left(V\middle|\overline \Pi\right) = \frac{9}{10}$.

Tratemos de calcular la probabilidad condicional $P\left(\Pi\middle|O\right)$, donde $O$ es el evento ’’la persona ha respondido afirmativamente a la pregunta’’. Observemos que el evento $O$ es la unión de los dos eventos incompatibles $\Pi \cap V$ y $\overline \Pi \cap \overline V$ (la persona responde afirmativamente si es un peor y dice la verdad, o si es un puro y miente). En particular, $\Pi \cap O = \Pi \cap V$. Se tiene entonces
\[ \begin{align*} P\left(\Pi\middle|O\right) &= \frac{P(\Pi \cap O)}{P(O)} = \frac{P(\Pi \cap V)}{P(\Pi \cap V) + P(\overline \Pi \cap \overline V)}. \end{align*} \]

Ahora bien,
\[\begin{align*} P(\Pi \cap V) &= P\left(V\middle|\Pi\right) \times P(\Pi) = \frac {1}{20} \times \frac 7{10} = \frac{7}{200}\\ \text{y} \qquad P(\overline \Pi \cap \overline V) &= P\left(\overline V\middle|\overline \Pi\right) \times P(\overline \Pi) = \frac{1}{10} \times \frac 3{10} = \frac 3{100}. \end{align*}\]

La probabilidad condicional buscada es por tanto igual a
\[ \begin{align*} P\left(\Pi\middle|O\right) &= \frac{P(\Pi \cap V)}{P(\Pi \cap V) + P(\overline \Pi \cap \overline V)} = \frac{7/200}{3/100+7/200} = \frac 7{13} \approx 0{,}538. \end{align*}\]