Enunciado

La única solución es $n=2$ y $m=3$

Multiplicando por $4mn^2$, vemos que la ecuación es equivalente a
\[4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2,\]
lo cual podemos rescribir de la forma
\[4n^2 + 4mn - 3mn^2 = 4.\]
Como el término a izquierda es igual a $n \times (4n + 4m - 3mn)$, esto implica que $n$ es un divisor de $4$. Por lo tanto, hay tres casos:

• $n = 1$ y $4+4m-3m = 4$, es decir, $m = 0$. Como buscamos solo enteros positivos, excluimos esta solución.

• $n=2$ y $8 + 4m - 6m = 2$, es decir, $2m=6$, lo cual da la solución $n = 2$ y $m = 3$.

• $n=4$ y $16 + 4m -12m = 1$, es decir, $8m = 15$, que no posee solución entera.

En resumen, la única solución es $n=2$ y $m=3$.