Abril 2020, segundo desafío

Le 10 avril 2020 - Ecrit par Ana Rechtman
Le 10 avril 2020
Article original : Avril 2020, 2e défi Voir les commentaires (4)
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 15

Encuentra la suma de las sextas potencias de las soluciones de la ecuación
\[ x^6 - 16x^4 + 16x^2 - 1 = 0. \]

Solución del primer desafío de abril :

Enunciado

La solución es $81$.

De entrada, notemos que $a(b+c) - b(a+c) = ac - bc = (a - b)c$.

Para obtener el máximo valor de $a-b$, hay que escoger $a = 10$ y $b = 1$, lo que da $a - b = 9$. En este caso, el máximo valor de $c$ es $9$, y el producto $(a - b)c$ vale entonces $9\times 9 = 81$.

Si $a - b$ no es igual a $9$, entonces tenemos que $a - b\leq 8$ ; en este caso, $c$ puede tomar el valor $10$.

Así, $(a - b)c\leq 8 \times 10 = 80$.

Por lo tanto, el máximo valor de $(a - b)c$ es $81$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Commentaire sur l'article

Abril 2020, segundo desafío

le 11 avril 2020 à 01:08, par Yoyontzin

6662
Se puede calcular con las identidades de Newton o como le hice : Encontramos la matriz compañera de este polinomio, A. Ésta tiene como valores propios justamente a las raíces de éste polinomio y por lo tanto A^6 tiene como valores propios a las potencias sextas de las raíces de éste polinomio. Luego calculamos la traza de A^6 y listo.
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Abril 2020, segundo desafío

le 11 avril 2020 à 02:40, par Yoyontzin

Se puede calcular con las identidades de Newton o como le hice : Encontramos la matriz compañera de este polinomio, A. Ésta tiene como valores propios justamente a las raíces de éste polinomio y por lo tanto A^6 tiene como valores propios a las potencias sextas de las raíces de éste polinomio. Luego calculamos la traza de A^6 y listo.

El resultaado : 6662
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Abril 2020, segundo desafío

le 11 avril 2020 à 05:56, par David Carbajal

Sale 6662 ?
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Abril 2020, segundo desafío

le 11 avril 2020 à 05:59, par David Carbajal

El resultado es 6662 ?
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Un desafío por semana

Abril 2020, segundo desafío

Solución del primer desafío de abril :

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