Un desafío por semana

Abril 2020, tercer desafío

El 17 abril 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 17 abril 2020
Artículo original : Avril 2020, 3e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 16

Tres bolas numeradas $1,2$ y $3$ están en una bolsa. Sacamos una bola al azar, escribimos su número y la volvemos a poner en la bolsa.

Al cabo de tres sorteos, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los tres números apuntados sea estrictamente menor que $8$?

Solución del segundo desafío de abril:

Enunciado

La solución es $6662$.

Como todos los exponentes del polinomio $x^6 - 16x^4 + 16x^2 - 1$ son pares, por medio de la substitución $y = x^2$ obtenemos la nueva ecuación $y^3 - 16y^2 + 16y - 1 = 0$, con la raíz evidente $y = 1$. La nueva ecuación se puede escribir como
\[ y^3 - 16y^2 + 16y -1 = (y - 1)(y^2 - 15y + 1). \]

Nos resta encontrar las raíces de la ecuación cuadrática $y^2 - 15y + 1 = 0$, que son:
\[ y = \frac{15\pm \sqrt{15^2 - 4}}{2} = \frac{15\pm \sqrt{221}}{2}, \]
que podemos escribir como $y = (a\pm b)/2$, con $a = 15$ y $b = \sqrt{221}$. Ya que estos dos valores de $y$ son positivos, los seis números a continuación son raíces del polinomio original: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = \sqrt{(a+b)/2}$, $x_4 = -\sqrt{(a+b)/2}$, $x_5 = \sqrt{(a-b)/2}$ y $x_6 = -\sqrt{(a-b)/2}$.

Tenemos entonces que
\[ \begin{align*} x_1^6 + x_2^6 +\dotsb + x_6^6 &= (1)^6 + (-1)^6 + 2\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr)^3 + 2\Bigl(\frac{a-b}{2}\Bigr)^3\\ &= 2 +\frac{1}{4} ((a+b)^3 + (a-b)^3 )\\ &= 2 +\frac{1}{4}(2a^3 + 6ab^2)\\ &= 2 +\frac{1}{2} (a^3 + 3ab^2). \end{align*} \]

Puesto que $a = 15$ y $b = \sqrt{221}$, tenemos que $a^3 = 15\times 225$ y $3ab^2 = 15 \times 663$.

Así las cosas,
\[ \begin{align*} 2 +\frac{1}{2}(a^3 + 3ab^2) &= 2 +\frac{15}{2}(225 + 663)\\ &= 2 + 15\times 444 = 6662. \end{align*} \]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Abril 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - - AVIGATOR FORTUNER / SHUTTERSTOCK

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