Un desafío por semana

Abril 2021, cuarto desafío

El 23 abril 2021  - Escrito por  Ana Rechtman
El 23 abril 2021
Artículo original : Avril 2021, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 17

Si $a, b$ y $c$ son tres enteros diferentes comprendidos entre $1$ y $10$, ¿cuál es el máximo valor que $a(b + c) - b(a + c)$ puede alcanzar?

Solución del tercer desafío de abril:

Enunciado

La figura contiene diez puntos anaranjados y seis violetas. El número de maneras de escoger tres puntos anaranjados es
\[ \binom{10}{3} = \frac{10\times 9\times 8}{3\times2\times1} = 120, \]
mientras que el de escoger tres puntos violetas es
\[ \binom{6}{3} = \frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1} = 20. \]
Obtenemos, por tanto un total de $120 + 20 = 140$ maneras de escoger tres vértices del mismo color.

Sin embargo, no podemos construir ningún triángulo cuando los vértices están alineados. En el caso de los vértices de color violeta, no hay más que dos ternas de alineados (los puntos violetas de la primera columna y los otros tres de la diagonal).

En cuanto a los puntos anaranjados, hay que retirar las dos ternas en diagonal, las de la primera y última línea, la de la segunda columna, así como las cuatro ternas seleccionadas de entre los puntos de la última columna (puesto que $\binom{4}{3} = 4$).

Finalmente, podemos construir $140 - 2 - 9 = 129$ triángulos cuyos vértices tiene el mismo color.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Para citar este artículo:

— «Abril 2021, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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