Enunciado

No hay más que seis números de dos cifras que sean cuadrados de un entero : $16, 25, 36, 49, 64$ y $81$. Veamos entonces que, sin importar cuál de ellos consideremos, existe un único múltiplo de $11$ añadiendo un dígito a la izquierda de dicho cuadrado.

• Notemos que $100$ da un resto de $1$ al dividirlo por $11$. Para $200$, tendremos un resto de $2$ ; para $300$, uno de $3$ y así sucesivamente hasta $900$, que dará un resto de $9$.

• Puesto que $16$ arroja un resto de $5$, añadiéndole $600$ obtenemos un múltiplo de $11$ (la suma de restos siendo $5 + 6 = 11$). Por lo tanto, $616$ es el único múltiplo de $11$ deseado.

Ya que $25$ da un resto de $3$, basta con sumarle $800$ para obtener un múltiplo de $11$. De igual modo, a $36$ basta con añadirle $800$, a $49$ hay que sumarle $600$, a $64$ hay que agregarle $200$ y finalmente a $81$ hay que aumentarlo de $700$ para obtener un múltiplo de $11$.

• Hemos visto que con sólo un dígito de centenas es posible obtener un múltiplo de $11$ partiendo de cada cuadrado de dos cifras.

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{1}{9}$.