Un desafío por semana

Abril 2021, quinto desafío

Le 30 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 30 avril 2021
Article original : Avril 2021, 5e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 18

¿Para qué enteros $n$ el número $n^5 - 5n^3 + 4n$ es divisible por $120$ ?

Solución del cuarto desafío de abril :

Enunciado

Observemos que $a(b+c) - b(a+c) = ab + ac - ba - bc = c(a-b)$, así que debemos hallar el valor máximo de $c(a - b)$. Analicemos este producto de acuerdo a los valores posibles del entero $c$ :

  • Si $c = 10$, entonces $a - b\leqslant 8$ porque $a\not= c$, de donde $a\leqslant 9$ y $b\geqslant 1$. Así pues, $c(a - b)\leqslant 10\times 8 = 80$.
  • Si $c = 9$, entonces $a - b = 9$ es máximo si $a = 10$ y $b = 1$, lo que da $c(a - b) = 9\times 9 = 81$.
  • Si $c\leqslant 8$, fácilmente obtenemos la desigualdad $c(a - b)\leqslant 8\times 9 = 72$.

El más grande valor posible de $a(b+c) - b(a+c)$ es entonces $81$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Abril 2021, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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