Un desafío por semana

Abril 2021, segundo desafío

Le 9 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 9 avril 2021
Article original : Avril 2021, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 15

Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos, con $a\leqslant b\leqslant c$, que no sean todos múltiplos de un mismo número primo, pero tales que

  • $a$ divida $b + c$,
  • $b$ divida $a + c$ y
  • $c$ divida $a + b$.

Solución del primer desafío de abril :

Enunciado

La respuesta es $\dfrac{1}{\sqrt3}~\mathrm{cm}$.

Los ángulos internos de un hexágono regular miden $120^\circ$. Además, los triángulos $FAB, ABC$ y $BCD$ son isósceles son superponibles, así que los ángulos $\widehat{ABF}, \widehat{BAC}, \widehat{ACB}$ y $\widehat{DBC}$ miden todos $30^\circ$.

De allí deducimos en particular que los triángulos $AXB$ y $BYC$ son isósceles. Por lo tanto, $XA = XB$ y $YB = YC$ y, por simetría, $XA = XB = YB = YC$.
Asimismo,
\[ \widehat{XBY} = \widehat{ABC} -\widehat{XBA} -\widehat{YBC} = 120^\circ -2\times 30^\circ = 60^\circ. \]

El triángulo $XBY$ es isósceles entonces, con un ángulo de $60^\circ$, de donde resulta que es equilátero, y finalmente que $AX = XB = XY = YB = YC$.

El triángulo $ABY$ es rectángulo en $B$. Utilizando el teoréma de Pitágoras, obtenemos las igualdades :
\[ \begin{align*} AB^2+BY^2 &= AY^2,\\ 1+BY^2 &= (AX+XY)^2,\\ 1+XY^2 &= (2XY)^2. \end{align*} \]

Por consiguiente, $3XY^2 = 1$ y $XY = \dfrac{1}{\sqrt3}~\mathrm{cm}$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Abril 2021, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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