Enunciado

Como $a\leqslant b\leqslant c$, tenemos que $a + b\leqslant 2c$. Además, $a + b$ es un múltiplo de $c$, así que ya sea $a + b = c$, o bien $a + b = 2c$.

Si $a + b = 2c$, entonces, como tenemos que $a\leqslant c$ y $b\leqslant c$, forzosamente $a = c$ y $b = c$, y entonces $a = b = c$. Como estos tres números no tienen ningún divisor primo común, necesariamente $a = b = c = 1$.

Consideremos el caso donde $a + b = c$. Los tres enteros $a, b$ y $c$ son entonces primos relativos de a pares, porque todo divisor común a dos de ellos divide también al tercero debido a que $a + b = c$. Pero cada uno de los enteros $a, b$ y $c$ divide la suma $a + b + c$, y por consiguiente también la divide el producto $abc$ de primos relativos entre sí, de donde obtenemos que $abc\leqslant a + b + c\leqslant 3c$ y que $ab\leqslant 3$.

Si $a = b = 1$, entonces $c = 2$ ; si $a = 1$ y $b = 2$, entonces $c = 3$, y estas dos ternas son válidas. Pero si $a = 1$ y $b = 3$, entonces $c = 4$, y esta terna no conviene porque $b$ debería dividir $a + c = 5$.

Así pues, las únicas ternas convenientes son $(1,1,1), (1,1,2)$ y $(1,2,3)$.