Un desafío por semana

Abril 2022, segundo desafío

Le 8 avril 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 8 avril 2022
Article original : Avril 2022, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 14

¿Cuánto es el valor de la expresión de abajo ?
\[ \Bigl(1 -\dfrac{1}{8^2}\Bigr) \times \Bigl(1-\dfrac{1}{9^2}\Bigr)\times\Bigl(1-\dfrac{1}{10^2}\Bigr) \times\cdots \times\Bigl(1-\dfrac{1}{70^2}\Bigr)\, \]

Solución del primer desafío de abril de 2022 :

Enunciado

Vamos a mostrar que cada uno de los factores del número es divisible por $2^2 = 4$, pero no por $2^3=8$.

Primeramente, como el resto de la división de $5$ por $4$ es $1$, lo mismo ocurre para toda potencia de $5$.

Así pues, quitando $1$ como en los factores, cada factor es un múltiplo de $4$, o sea, de $2^2$.

Los restos en la división de las potencias de $5$ por $8$ son $5, 1, 5, 1$, etc. Toda potencia impar de $5$ da un resto de $5$ en la división $8$.

Así entonces, ninguno de los factores del número es divisible por $2^3$. Puesto que hay $100$ factores, y que cada uno de ellos es divisible por $2^2$ pero no por $2^3$, el exponente de $2$ en la descomposición en factores primos del número es igual à $2\times 100 = 200$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022 — Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Abril 2022, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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