Un desafío por semana

Abril 2022, tercer desafío

Le 15 avril 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 15 avril 2022
Article original : Avril 2022, 3e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 15
Con cuadrados pequeños del mismo tamaño se construye un mosaico cuadrado para el cual $1616$ cuadrados pequeños forman dos diagonales, y los otros cuadrados pequeños son rojos. ¿Cuántos cuadrados rojos pequeños hay ?

Solución del segundo desafío de abril 2022 :

Enunciado

Respuesta : $\dfrac{71}{80}$.

Podemos escribir cada factor de la forma
\[1-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}.\]
Así, el producto es igual a
\[ \frac{(7\times 9)(8\times 10)(9\times 11)\cdots(69\times 71)}{8^2\times 9^2\times 10^2\times \cdots \times 70^2}. \]
Simplificando todos los factores simultáneamente presentes en el numerador y el denominador obtenemos
\[ \frac{7\times 71}{8\times 70}=\frac{71}{80}. \]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022 — Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Abril 2022, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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