Acerca de las curvas de rellenado

Le 24 novembre 2011  - Ecrit par  Hamza Khelif
Le 17 mars 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Sur les courbes de remplissage Voir les commentaires
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La idea de que las curvas no tienen espesor y que, en consecuencia, tienen un área nula, pues hay menos puntos en un segmento de recta que dentro de un cuadrado, era una herencia matemática indiscutida desde siempre ; pero finalmente esta idea debió ser abandonada. Desde hace más de un siglo los matemáticos se habían planteado la pregunta sobre la existencia de curvas que pasen por todos los puntos de una región de medida (área, volumen...) no nula del plano o del espacio, tal como el interior de un cuadrado del plano, por ejemplo. En otras palabras, curvas que llenen estas partes y, por lo tanto, ¡curvas cuya área no sea nula ! [1]

Curvas de área nula

Curvas de área o de volumen no nulo

G. Peano fue el primero en dar una respuesta positiva a esta pregunta, construyendo en 1890 el primer ejemplo de una tal curva [2].

Otros ejemplos fueron dados luego por D. Hilbert en 1891, E. H. Moore en 1900, H. Lebesgue en 1904, W. Sierpinski en 1912, G. Polya en 1913... Los matemáticos llaman desde entonces a las curvas definidas por métodos iterativos que tienen esta propiedad como curvas de Peano, curvas que llenan o curvas de rellenado. Las figuras del 1 al 6 representan respectivamente curvas que se acercan a esas seis curvas [3].

\[{\rm{fig}}.1\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad{\rm{fig}}.2\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{fig}}.3\]

\[{\rm{fig}}.4\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad {\rm{fig}}.5\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad{\rm{fig}}.6\]

Estas construcciones se generalizan fácilmente en el espacio.

Dimensión fractal

Uno ya no se interesa solo en la dimensión topológica de esas curvas, sino también bien en la dimensión fractal (introducida por Benoît Mandelbrot)

\[ d = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \left( {\frac{{\ln {N_\varepsilon }}}{{ - \ln \varepsilon }}} \right), \]

donde $N_\varepsilon$ es el número mínimo de bolas de radio $\varepsilon$ que cubren la curva. Esta dimensión, comprendida entre 0 y 1 (resp. 1 y 2, 2 y 3), corresponde a la capacidad de un conjunto de puntos (resp. de una línea, de una superficie) de rellenar parcialmente una línea (resp. un plano, un volumen) sin lograrlo completamente por no haber tenido el valor entero 1 (resp. 2, 3) de la dimensión topológica necesario para ello. Por ejemplo, la dimensión fractal de las curvas citadas arriba es 2.

Notemos que esas curvas son continuas y algunas, como la de Lebesgue por ejemplo, poseen una tangente en casi todo punto. Se demuestra, sin embargo, que una curva de Peano que admita una tangente en cada uno de sus puntos no existe.

Estos resultados pueden generalizarse en otras partes del plano o del espacio, pero sus enunciados son más técnicos [4].

Las curvas de rellenado ya forman una parte de la ’’geometría fractal’’ estudiada especialmente por Benoît Mandelbrot, y continúan interesando a los matemáticos y a los informáticos, no solo por su carácter recreativo y su elegante estructura recursiva, sino también porque ellas se revelan útiles en muchos campos científicos. Un ejemplo simple es la resolución del problema llamado del ’’vendedor viajero’’ : Dados $n$ puntos (ciudades) y las distancias que separan cada par de puntos, encontrar un camino de longitud total mínima que pase exactamente una vez por cada punto y vuelva al punto de partida (Vea la fig. 7, donde la curva de Hilbert da una solución ’’adecuada’’) [5].

fig.7

Una generalización : las curvas $\alpha$-densas

Si bien las curvas que rellenan una parte de un espacio pasan por todos los puntos de esta parte, existen otros tipos de curvas que no tienen este privilegio pero que, sin embargo, pueden acercarse a cada punto de esta parte a una distancia inferior o igual a un número positivo fijado $\alpha$. Se les llamará las curvas $\alpha$-densas [6].

Por ejemplo, la espiral de Arquímedes definida en coordenadas polares por la ecuación
\[\rho = a\theta\]
es $\pi a$-densa en el plano (fig. 8).

En efecto, todo punto del plano pertenece a un segmento (abierto a la derecha) cuyos extremos pertenecen a la espiral, es decir de la forma $(a\theta, \theta), (a(\theta+2\pi), \theta)$ y su distancia a uno de los extremos es inferior a la mitad de la longitud de ese segmento, a saber $\pi a$.

Más generalmente

Sea $\alpha\in\bf R^+$ un sub-espacio $A$ de un espacio métrico $(E, d)$, se llama $\alpha$-denso en $E$ si

\[\forall m\in E, \exists m'\in A : d(m,m')\leq \alpha.\]

Una curva $\gamma$ es $\alpha$-densa en un sub-espacio $K$ de ${\bf R^n}$ si $\gamma$ como sub-espacio de $K$ es $\alpha$-denso en $K$, esto es, si

\[\forall m\in K, \exists m'\in \gamma : d(m,m')\leq \alpha.\]

Es inmediato que si una curva es $\alpha$-densa en $K$, entonces es $\beta$-densa en $K$ para todo $\beta$ tal que $\alpha\leq \beta$.

fig.8 Curva $\frac{\pi}{10}$-densa en ${\bf R^2}$.

Por lo tanto, se puede considerar una curva que rellena un espacio como una curva $0$-densa en este espacio, ya que en este caso todo punto del espacio en cuestión coincide con un punto de la curva.

Para más detalles acerca de las curvas $\alpha$-densas y sus campos de aplicación, revise por ejemplo la referencia 1.

Si uno se permite adentrarse un poco más en este ’’bosque denso’’ de las curvas, se puede notar la existencia de curvas $\alpha$-densas para todo $\alpha$ estrictamente positivo. Son las curvas llamadas densas, (ya que es independiente de $\alpha$, ¡uno se deshace de ella !) y que serán llamadas en este texto curvas de rellenado débil. Una curva que rellena débilmente una parte del plano o del espacio es por lo tanto una curva que está presente casi en todos los lugares de esta parte, ya que puede aproximarse a cada uno de sus puntos tan cerca como quiera [7]. A continuación se dará algunos ejemplos definidos por representaciones paramétricas simples.

Las curvas definidas en coordenadas cartesianas por las ecuaciones paramétricas
\[x = a\cos \alpha t,\;y = b\sin \beta t\]
con $a$ y $b$ positivos y $\frac{\alpha}{\beta}$ irracional, rellenan débilmente el rectángulo $[-a,a]\times[-b,b]$.
Por ejemplo, la curva definida por las ecuaciones
\[x = \cos \sqrt 2 t,\,\,y = \sin t\]
rellena débilmente el cuadrado $[-1,1]^2$ (la curva no contiene, por ejemplo, el centro del cuadrado) (fig. 9).

La figura 10 representa el cubo $[-1,1]^3$ débilmente relleno por la curva definida por la parametrización
\[x = \cos \sqrt 3 t,\,\,y = \cos \sqrt 2 t,\,z = \sin\pi t.\]

De la misma forma, las curvas definidas en coordenadas polares por la ecuación
\[\rho= a + b\cos \alpha \theta \]
con $a$ y $b$ positivos y $\alpha$ irracional, rellenan débilmente la corona $\left| {a - b} \right| \le \rho \le a + b$. Por ejemplo, la curva definida por
\[\rho=2+\cos\sqrt{2}\theta \]
rellena débilmente la corona definida por $1\le\rho\le3$ (fig. 11).

\[{\rm{fig}}.9\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{fig}}.10\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{fig}}.11\]

Referencias

1. Optimisation globale Théorie des courbes $\alpha$-denses par Yves CHERRUAULT et Gaspar MORA, Economica, 2005.

2. Chaos and Fractals New Frontiers of Science, by Heinz-Otto PEITGEN, Hartmut JÜRGENS, Dietmar SAUPE, Springer, 2004.

3. Le jardin des courbes Dictionnaire raisonné des courbes planes célèbres et remarquables, par Hamza KHELIF. Ellipses, 2010.

4. http://www.mathcurve.com/ de Robert FERRÉOL.

5. Space-Filling Curves by Hans SAGAN. Springer-Verlag, 1994.

Vea también esta página.

Notes

[1En 1878 G. Cantor demostró la existencia de una biyección entre un intervalo y un cuadrado, o un cubo. En 1879, G. Netto probó que una tal biyección es necesariamente discontinua (The Theory of Functions of a Real Variable and The Theory of Fourier’s Series, by E. W. Hobson, Cambridge University Press, pp. 329, 330).

La condición de biyectividad quedó de lado, y tomó lugar la pregunta de la existencia de curvas de Jordan (aplicaciones continuas e inyectivas del intervalo en el plano o el espacio) de medida no nula. Una respuesta positiva fue dada en 1903 por W. F. Osgood, quien construyó una familia con un parámetro de tales curvas. Esas curvas tienen una medida de Lebesgue no nula y el arco limitante es una curva de Peano. En 1917 K. Knopp dio otra familia de curvas cuyo arco límite es la curva de Sierpinski. (5. páginas 1 y 2)

[2“Sur une courbe qui remplit toute une aire plane”, Math. Ann., vol. XXXVI, 1890.

[3Para detalles acerca de la definición y las propiedades de esas curvas consulte las referencias o vea aquí.

[4Como por ejemplo este teorema de Hahn-Mazurkiewicz : un espacio topológico de Hausdorff (separado) no vacío puede estar completamente relleno por una curva continua si y solamente si es compacto, conexo, localmente conexo y metrizable. Felix Hausdorff ya había demostrado que ’’Todo conjunto compacto es una imagen continua del Conjunto de Cantor.’’ (Set Theory, Chelsea, New York 1962, pp. 154, 226.)

[5Para aplicaciones en combinatoria, vea por ejemplo aquí, y para un poco de arte geométrico abstracto, vea aquí. Esas curvas han tomado su lugar en los sistemas de compresión de imágenes, en imaginería para hacer recorridos aleatorios de superficies, lo que da fondos estéticos a ciertas imágenes (dithering, que significa yuxtaposición de puntos, mezcla de puntos de colores diferentes para elaborar colores intermedios), en imagenología médica, etc.

[6Estas curvas son ampliamente utilizadas en optimización global (el problema de la ’’mochila’’ y el problema de ’’transporte’’, por ejemplo, son estudiados ahí), en biomedicina, etc.

[7En la vida diaria, el rellenado es del todo relativo. Por ejemplo, una caja ’’rellena’’ de piedras de un tamaño dado puede contener más piedras de tamaño más chico, arena, agua, etc.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Acerca de las curvas de rellenado» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - http://mathworld.wolfram.com/HilbertCurve.html

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