Acerca de las ecuaciones de Navier-Stokes

Piste rouge Le 28 janvier 2010  - Ecrit par  Isabelle Gallagher
Le 22 avril 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Autour des équations de Navier-Stokes Voir les commentaires
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En este artículo presentamos las etapas en la historia del desarrollo de las ecuaciones de Navier-Stokes, además de los pocos avances en la historia (aún inconclusa) de su resolución.

La mecánica de fluidos : de los griegos a Bernoulli (una breve descripción histórica)

La mecánica de fluidos es el estudio del comportamiento de los fluidos (líquidos y gases). Su estudio se remonta a la Antigüedad, con Arquímedes (287-212 AC), quien descubrió en particular que si un cuerpo se encuentra sumergido en un líquido (o un gas), entonces recibe un empuje que se ejerce de abajo hacia arriba y que es igual al peso del volumen de líquido desplazado.

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Arquímedes

También podemos citar a Herón de Alejandría (10-70 DC), quien estudió la presión de los gases y, en particular, construyó máquinas a vapor y autómatas de exhibición.

Después de una larga pausa, el estudio de los fluidos despertó nuevamente en el siglo XV, con Leonardo da Vinci (1452-1519). Él propuso muchas descripciones de flujos (chorros, torbellinos, ondas superficiales) y formula, después de Herón de Alejandría, el principio de conservación de la masa.

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Un torbellino visto por da Vinci

Fue en el siglo XVI cuando comenzó la matematización de la Física, en particular con la introducción de herramientas algebraicas destinadas a dar cuenta de las realidades físicas. Por ejemplo, Galileo Galilei (1564-1642) se interesó en la mecánica celeste y, en particular, estudió el movimiento de la Luna y de los planetas. En 1687, Isaac Newton estableció en Principia Mathematica los fundamentos de la mecánica clásica, que no se modificarán hasta 1905 con Albert Einstein y la relatividad especial (aun así, estos principios siguen estando justificados y todavía se utilizan en la actualidad, en el marco de la mecánica clásica). Newton se encuentra notablemente en el origen del siguiente principio esencial llamado « ley fundamental de la dinámica » : $F = ma$. En otras palabras, el equilibrio de fuerzas $F$ que actúan sobre un sólido es igual al producto de su masa $m$ por su aceleración $a$.

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Newton

Finalmente, en 1738 Daniel Bernoulli estudió fluidos no viscosos, basando su análisis en la conservación de la energía.

Paralelamente nació una nueva teoría matemática que, entre otras cosas, revolucionó la comprensión matemática del movimiento de cuerpos, sólidos y líquidos. Este es el cálculo diferencial, con Leibniz primero, pero también con Clairaut, Jean, Jacques y Nicolás Bernoulli, Newton y d’Alembert. Sigamos a d’Alembert en su descubrimiento de las primeras ecuaciones de la mecánica de fluidos.

Contribuciones de d’Alembert a la hidrodinámica : derivadas parciales y campo de velocidad

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D’Alembert

En 1748, la Academia de Ciencias de Berlín ofreció el Premio de Matemáticas para el año 1750 : se pidió ’’determinar la teoría de la resistencia que sufren los cuerpos sólidos en su movimiento a través de un fluido, tanto en relación con la forma y los distintos grados de velocidad de los cuerpos, y a la densidad y los distintos grados de compresión del fluido’’. En otras palabras, se trataba de establecer una teoría que permitiera interpretar, o incluso anticipar, el movimiento de fluidos (aquí en presencia de un obstáculo sólido).

Jean d’Alembert, matemático y filósofo francés, presentó el 25 de noviembre de 1749 un manuscrito de 137 páginas que ofrecía una nueva visión de la hidrodinámica. La Academia le negó el premio, el que fue entregado a un protegido de Leonhard Euler, un tal Jacques Adami (cuyo manuscrito se encuentra actualmente desaparecido). Sin embargo, debemos a este manuscrito de d’Alembert la introducción de las siguientes nociones en el estudio de la dinámica de fluidos :

  • derivadas parciales,
  • campo de velocidades,
  • presión interna de un fluido

Detallemos un poco estos puntos.

Comencemos por introducir qué son las derivadas parciales, objetos matemáticos absolutamente fundamentales hoy en día, tanto en Análisis Matemático como en Geometría, por ejemplo. Supongamos que describimos la trayectoria de un automóvil en una autopista y que queremos saber la velocidad de este automóvil en un momento dado $t$. Esta velocidad se calcula derivando el vector de posición vinculado al automóvil con respecto al tiempo : en específico, calculamos la diferencia en las posiciones del automóvil (en metros) entre dos instantes muy cercanos (digamos $t$ y $t+h$, donde $h$ es muy pequeño), y dividimos el resultado obtenido por el pequeño intervalo de tiempo $h$ (medido en segundos). Cuando la longitud de este intervalo se vuelve infinitesimal (decimos que tiende a cero), este cociente tiende hacia el valor $u$ de la velocidad del automóvil en ese instante $t$ (en metros por segundo). En lenguaje matemático, la oración anterior se traduce de la siguiente manera : escribiendo $x(t)$ para la posición (en metros) del vehículo en el instante $t$, y $x(t+h)$ para la posición en el instante $t+h$, y de manera similar denotando $u(t)$ para la velocidad en el tiempo $t$ :
\[ \frac{x(t + h) - x(t)}{h} \rightarrow u(t) \quad \mbox{cuando} \quad h \rightarrow 0. \]
Para aliviar esta escritura engorrosa, en su lugar escribiremos (siendo esta una notación de uso universal) :
\[ \frac{dx(t)}{dt} = u(t). \]
Tenga en cuenta que en este ejemplo es posible reemplazar el automóvil por un avión, que evoluciona en un espacio tridimensional en lugar de en una autopista (esencialmente unidimensional). Nos damos cuenta de que la noción de velocidad debe refinarse para tener en cuenta todas las direcciones (en altitud, pero también en latitud y longitud). La velocidad se convierte entonces en un vector y calculamos cada una de las componentes de este vector (es decir, el tamaño del vector en cada una de las tres direcciones), haciendo el cálculo anterior para cada una de las direcciones. Asimismo, la aceleración del avión se calcula derivando el vector velocidad respecto al tiempo.

Aquí estamos redescubriendo el cálculo infinitesimal, del cual Leibniz fue uno de los precursores, junto con Newton. A la competencia entre ellos se debe una ruptura matemática entre Gran Bretaña y el resto de Europa que duró mucho tiempo... pero esa es otra historia.

Una derivada parcial no es más que este mismo proceso cuando la cantidad que buscamos derivar (también decimos la función) depende de varios parámetros, también llamados variables. Por ejemplo, la velocidad de un avión dependerá por supuesto del instante en que se calcule, pero también dependerá de la presión atmosférica, el peso de la carga, la cantidad de combustible presente y muchos otros factores. Calcular la derivada de la función con respecto a uno de estos factores, dejando los demás sin cambios, es precisamente proceder a un cálculo de derivada parcial. Para enfatizar que la función $f$ depende de varias variables, digamos que consideramos una función $f(t,x)$ (en este caso, dependiendo del tiempo $t$ y de la posición $x$) y reemplazamos la notación
$\displaystyle \frac{df(t,x)}{dt} $
por
$\displaystyle \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} $
 [1]
.
Sigue siendo una notación simple, que traduce en unas pocas letras y símbolos todo el proceso mencionado anteriormente .

Finalmente llegamos a la noción de campo vectorial, comenzando con el ejemplo de los automóviles en una autopista. Supongamos que ya no nos interesa la velocidad de un determinado automóvil, sino que (como Bison Futé en un día de alto tráfico) queremos saber la velocidad de la procesión de automóviles en la autopista en un instante dado (o en un intervalo de tiempo). No vamos a seguir cada coche individualmente, sino que vamos a situarnos en un punto determinado del viaje y medir, en ese punto y en cada instante, la velocidad del coche que pasa. Esto nos dará un vector que depende del instante en el que se calcule, pero también de la posición en la que se realiza este cálculo. Conocer este vector en cada punto y en cada momento significa tener acceso a todo el estado de la autopista en cuestión en cada momento. Este vector es, precisamente, un campo vectorial. Aquí tocamos la diferencia fundamental entre el punto de vista llamado lagrangiano (que consiste en seguir permanentemente la trayectoria de cada automóvil, o más generalmente, cada partícula de un fluido) y el punto de vista llamado euleriano (que consiste en calcular el campo de velocidad en cada momento y en cada punto).

El tercer punto al que d’Alembert concede importancia en su manuscrito es la noción de presión interna del fluido : sin embargo, a diferencia de otros aspectos de su manuscrito, su análisis no es completo, y es a Euler a quien se debe la escritura final de las ecuaciones de la dinámica de fluidos incompresibles.

Para un análisis mucho más profundo de la obra de d’Alembert, remito al lector al post de Pierre Crépel.

Las ecuaciones de Euler y la paradoja de d’Alembert

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Euler

Ya nos hemos encontrado con Euler en el párrafo anterior. Este matemático suizo es sin duda uno de los más grandes matemáticos no solo del siglo XVIII, sino de todos los tiempos. En 1755 publicó un tratado en el que aparecieron por primera vez las ecuaciones diferenciales parciales que describen fluidos incompresibles perfectos. Sin duda, leyó el manuscrito de d’Alembert, como hemos visto, y sin duda se inspiró también de él. Sin embargo, su obra está completamente terminada, a diferencia de la de d’Alembert, y también logra identificar la noción de gradiente de presión, una noción que se le había escapado a d’Alembert. El término gradiente corresponde al vector formado por el conjunto de derivadas parciales de una función $f$ con respecto a todas sus variables, y se escribe $\nabla f$
 [2]
. Incluso si no es posible entrar aquí en los detalles de los diferentes términos que constituyen las ecuaciones de Euler, podemos escribirlos. Denotaremos por $u$ al campo de velocidad del fluido, que depende del tiempo $t$ y de la posición $x$ (que es en sí mismo un vector, constituido como en el párrafo anterior de la medición de la longitud, latitud y altitud). Luego, denotamos por $\nabla$ solamente al vector de derivadas parciales espaciales (por lo tanto, hay tres componentes en este vector). Si $p$ es la presión del fluido, aquí están las ecuaciones de Euler :
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \nabla u = - \nabla p, \quad \nabla \cdot u = 0. \]
En estas ecuaciones falta la definición de la notación $u \cdot \nabla u$. Simplemente diremos que se trata de una operación cuyo espíritu es similar al de un producto escalar de vectores
 [3]
. A pesar de las apariencias, quizás la primera ecuación anterior no es más que la relación fundamental de la dinámica de Newton
\[ ma = F \]
que vimos arriba, escrita desde el punto de vista euleriano. Hemos asumido que la ’’masa’’ del fluido (que sería aquí su densidad) es constante e igual a 1. La aceleración es, precisamente, el conjunto de términos en el lado izquierdo de la igualdad, y $-\nabla p$ corresponde a las fuerzas de presión. Para simplificar, consideramos que no hay otra fuerza que actúe sobre el fluido. La segunda ecuación que aparece arriba, $\nabla \cdot u = 0$ [4], es la traslación al nivel del campo de velocidad de la incompresibilidad del fluido ; no explicaremos aquí esta traslación (pero digamos que está asociada con la conservación de la masa).

Ya en 1752, sin embargo, d’Alembert advirtió que un cuerpo sumergido en un líquido que satisfacía los principios aquí descritos, se movía sin oponerse a ninguna resistencia, lo que era manifiestamente contrario a la intuición y a la experiencia física. Esto se conoce como la ’’paradoja de d’Alembert’’, que él formuló como sigue (traduzco libremente) : ’’Me parece que la teoría, desarrollada con todo el rigor posible, da, al menos en varios casos, resistencia nula ; una singular paradoja que dejo para que los futuros geómetras resuelvan’’.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Para comprender por qué un sólido sumergido en un líquido experimentará en general una fuerza de resistencia que tiende a frenarlo, es necesario tener en cuenta los fenómenos de fricción al nivel molecular en el fluido : durante su evolución, de hecho, un fluido tenderá a disipar energía en forma de calor, lo que ocurre simplemente por la fricción de una capa de fluido sobre la otra.
Incluir tal fenómeno en las ecuaciones de Euler parece difícil, ya que las ecuaciones de Euler formulan el flujo de velocidad macroscópico del fluido, mientras que esta disipación de energía tiene lugar a un nivel microscópico.

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Navier

Debemos a Claude-Louis Navier (matemático e ingeniero francés) la idea, en 1820, de introducir un término adicional a la ecuación de Euler, el que se supone representa esta pérdida de energía en el fluido. Al simplificar su enfoque, podemos considerar que buscó incorporar en las ecuaciones de Euler precisamente una ecuación para el calor. Esta última ecuación se basa en la ley de Fourier establecida matemáticamente por Jean-Baptiste Biot en 1804 y luego experimentalmente por Joseph Fourier en 1822, y se escribe de la siguiente manera : si $T$ es la temperatura de un sólido, su evolución en el tiempo obedece a la ley
\[ \frac{\partial T}{\partial t} - \nu\Delta T = 0, \]
donde
$\displaystyle \Delta T =\nabla \cdot \nabla T $ (¡Cuidado ! Los triángulos son diferentes)
y donde $\nu$ es un coeficiente positivo que describe la tasa de disipación del calor.

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Stokes

Así, Navier, seguido por George Stokes (matemático irlandés) en 1845, propuso el siguiente modelo para describir la evolución de un fluido viscoso (este término explica, precisamente, esta disipación de energía en forma de calor) :
\[ \frac{\partial u}{\partial t} +u \cdot \nabla u - \nu\Delta u= - \nabla p, \quad \nabla \cdot u = 0. \]

¿ Qué significa resolver estas ecuaciones ?

La primera reflexión que se puede tener a la vista de esta ecuación es buscar obtener soluciones analíticas explícitas. Desafortunadamente, aparte de algunas configuraciones particulares extremadamente simplificadas, los investigadores de la época de Navier y de Stokes se convencieron rápidamente de que este enfoque estaba condenado al fracaso.

El siguiente paso consistió en intentar construir soluciones aproximadas, por ejemplo en forma de una serie de funciones trigonométricas o polinomiales, al modo de Fourier o de Cauchy. Esto llevó al desarrollo de una teoría de la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Para desarrollar tal teoría, primero debemos estar de acuerdo en lo que queremos decir con resolver la ecuación, ya que abandonamos la idea de encontrar soluciones explícitas. Siguiendo a Jacques Hadamard (1865-1963), diremos que una ecuación diferencial parcial está bien planteada si se satisfacen las siguientes tres condiciones : (existencia, unicidad y estabilidad) :

  • suponiendo que el estado del fluido es conocido en un momento dado (iniciamos este tiempo en $t = 0$), existe una solución a la ecuación en instantes futuros, coincidiendo con este estado inicial en el instante $t = 0$ ;
  • existe una única solución para la ecuación que coincide con este estado inicial en el instante $t = 0$ ;
  • esta solución es estable bajo perturbaciones, lo que significa que si se modifica muy poco el estado inicial del fluido, los estados posteriores solo se modificaran ligeramente a su vez, al menos durante un tiempo determinado.

Desde un punto de vista físico, estos tres principios corresponden al hecho de que :

  • en efecto, es posible realizar un experimento correspondiente a la evolución descrita por las ecuaciones ;
  • si realizamos el experimento dos veces, en ambas ocasiones obtendremos el mismo resultado ;
  • si cometemos pequeños errores de medición, esto no modificará la solución de forma demasiado violenta (durante un tiempo fijo).

Este último punto es particularmente importante si se piensa, por ejemplo, en aplicaciones numéricas : es imposible inplementar la ecuación exacta en una computadora ; uno está obligado a reemplazarla por una aproximación (una computadora solo reconoce cantidades discretas y no continuas, como nuestras variables $x$ y $t$ que, por lo tanto, deben ser discretizadas de antemano) y antes se debe comprobar que la solución no será demasiado sensible a este tipo de procesos.

¿ Podemos resolver estas escuaciones ?

Desafortunadamente, la respuesta en general es negativa... Si el fluido evoluciona en un plano (lo que ciertamente no es muy físico pero ayuda mucho matemáticamente), entonces sabemos por los trabajos fundamentales de Jean Leray en 1934 que las ecuaciones están bien planteadas en el sentido anterior. En el espacio tridimensional, por otro lado, la situación es mucho menos clara. Para resumir el estado de nuestro conocimiento sobre el asunto (lo que se remonta casi por completo al trabajo de Leray, al menos para las ideas fundamentales subyacentes), se puede decir que no se sabe resolver en el sentido del párrafo anterior estas ecuaciones si el estado del fluido en el momento inicial está suficientemente próximo al reposo.

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Leray

En el caso contrario (un mar ligeramente agitado, por ejemplo), no podemos decidir si la solución de la ecuación correspondiente a este estado inicial ’’vivirá’’ para siempre o explotará en un tiempo finito.

Esta última noción significa que en algún instante posterior, una de las componentes de la velocidad será mayor que cualquier número dado de antemano (hablamos de singularidad del campo de velocidad). Esto puede parecer físicamente inconcebible... el significado físico de este hecho es simplemente que a partir de cierto momento, la velocidad del fluido se vuelve muy grande y, en particular, supera la velocidad del sonido. Pero entonces la hipótesis de incompresibilidad del fluido (que hemos traducido por la relación algo misteriosa $\nabla \cdot u = 0 $ en las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes anteriores) ya no puede satisfacerse, lo que lleva a que cambie el modelo en este momento. Desde un punto de vista físico, estas soluciones ’’explosivas’’ son, por tanto, una indicación de que el modelo matemático elegido deja de ser válido.

Para concluir esta introducción a las ecuaciones de Navier-Stokes, podemos indicar que resolver las ecuaciones de Navier-Stokes es parte de uno de los siete Problemas del Milenio propuestos por la Fundación Clay, uno de los cuales ha sido resuelto en 2003 (la conjetura de Poincaré). Para ganar el millón de dólares, se trata de demostrar que las ecuaciones de Navier-Stokes están bien planteadas en el sentido recordado anteriormente para cualquier dato inicial ’’suficientemente regular’’ (pero arbitrariamente alejado del resto, en un sentido que yo no he especificado), o bien demostrar que existe un estado inicial del fluido tal que en un determinado instante posterior, ’’explota en un tiempo finito’’ como se explicó anteriormente.

Post-scriptum :

Agradezco mucho a Michèle Audin por haberme animado a escribir este texto, así como a Etienne Ghys por sus numerosos consejos durante su elaboración.

Nota del editor : ver también en el sitio el retrato de Emmanuel Ferrand sobre Isabelle Gallagher.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Para distinguir ambas derivadas, se debe prestar atención al contexto y a la presencia del símbolo $d$ (para la derivada en una variable) o del símbolo $\partial$ (para la derivada parcial).

[2Este triángulo invertido se llama ’’Nabla’’. Esto es lo que Wikipedia dice sobre su historia : ’’La forma de Nabla proviene de la letra griega delta mayúscula $\Delta$ invertida, debido a un uso similar, ya que la letra griega en su posición normal ya se usa para denotar un operador (el laplaciano) en cálculo diferencial. El símbolo Nabla fue introducido por Peter Guthrie Tait en 1867. James Maxwell lo apodó maliciosamente « atled » (delta al revés) y Taid le dio el nombre de Nabla en 1870, siguiendo el consejo de William Robertson Smith : por analogía de forma con un arpa griega que en la Antigüedad llevaba ese nombre’’.

[3Recuerde que el producto escalar de dos vectores $a$ y $b$, denotado por $a \cdot b$, está definido por :
\[a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,\]
donde $a_1$, $a_2$ y $a_3$ son los componentes de $a$ en las tres direcciones mencionadas anteriormente.

[4Se pronuncia « divergencia de $u$ igual a cero ».

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Pilar Garcés, Edgard Araya — «Acerca de las ecuaciones de Navier-Stokes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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