El arte del ornamento contiene en forma implícita la parte más antigua de las matemáticas superiores que conocemos (Weyl-52, página 103).

... Ni la contemplación pasiva de los patrones del papel tapiz, ni la contemplación pasiva de las definiciones abstractas, son matemáticas ; ya que estas últimas son ante todo una actividad en la que se utilizan definiciones para producir resultados concretos (Schw-74).

Se supone que el lector, por un lado, disfruta de cierta familiaridad con la geometría plana y, por otro lado, domina el vocabulario básico de la teoría de grupos.

1. Teselaciones poligonales planas y grupos de simetría

Se supone que se conocen las propiedades habituales del plano euclidiano, aquí denotado $\mathbf E$. Recuerda que un polígono es una parte compacta conexa del plano, limitada por un número finito de segmentos, y que tiene un interior no vacío. Tal polígono es simplemente conexo si cualquier lazo que contiene es deformable continuamente en un punto dentro del polígono. Es convexo si, con dos puntos, contiene siempre el segmento de recta que los une. Definición equivalente : un polígono es convexo si es la intersección de semiespacios cerrados. Un polígono convexo es a fortiori simplemente conexo ; un polígono simplemente conexo es homeomorfo a un disco. La Figura 1 muestra algunos ejemplos ; los tres primeros son simplemente conexos (como todos los que aparecen a continuación) y los dos primeros son incluso convexos.

Figura 1 : algunos polígonos planos

Consideramos en este texto que dos polígonos son iguales si son isométricos (las isometrías no necesariamente conservan la orientación del plano).

Sea $\mathbf F$ una parte del plano, por ejemplo, un polígono, o la unión de varios polígonos, o el plano completo. Un teselado de $\mathbf F$, o un mosaico del plano si $\mathbf F = \mathbf E$, es un recubrimiento $\mathcal P = \left( P_i \right)_ { i \in I}$ de $\mathbf F$ por polígonos con interiores disjuntos :
\[ \mathbf F \, = \, \bigcup_{i \in I} P_i , \qquad \overset{\circ}{P_i} \cap \overset{\circ}{P_j} = \emptyset \quad \forall i,j \in I, i \ne j . \]
Los polígonos de un mosaico también se denominan mosaicos o ladrillos (obviamente, uno podría generalizar a mosaicos más generales que a los poligonales).

Una familia de polígonos $\mathcal M = \left\{P^{(\kappa)}\right\}_{\kappa \in K}$ es una familia de teselación modelo de una teselación $\mathcal P = \left( P_i \right)_{i \in I}$ si cada $P_i$ es isométrico a uno de $P^{(\kappa)}$ ; un $\mathcal M$-teselado es una teselación por copias de los teselados del modelo $\mathcal M$. Se dice que una teselación es monoédrica si tiene una única teselación modelo, es decir, si todos sus polígonos son iguales, diédrica (respectivamente triédrica, ...) si tiene dos (resp. tres, ...) teselaciones modelo.

Un teselado es lado a lado o estricto si la intersección de dos polígonos distintos es vacía, o bien un vértice común de varios polígonos, o un borde común de los dos polígonos. En este caso, definimos naturalmente qué es un vértice, un borde (o lado) y una cara del teselado.

Una simetría de un teselado $\mathcal P = \left( P_i \right)_{i \in I}$ es una isometría $\gamma$ del plano tal que $\gamma(P_i)$ es un mosaico $P_j$ para todo $i \in I$ ; el conjunto de estas simetrías constituye el grupo de simetría de $\mathcal P$. Un teselado es periódico si tiene una [1] simetría traslacional.
Recuérdese que una isometría del plano distinta a la identidad puede ser de cuatro tipos :

• una rotación (en particular, una media vuelta, también llamada simetría central, un tercio de vuelta, un cuarto de vuelta, etc.),

• una traslación,

• una simetría (implícita relativa a un eje),

• una simetría deslizante (composición de una simetría y una traslación paralela al eje de simetría). En el grupo de simetría $\Gamma$ de una teselación, una simetría deslizante es trivial si su eje también es el eje de una simetría de $\Gamma$, y no trivial en caso contrario. Una forma de describir un grupo $\Gamma$ de este tipo consiste en describir sus elementos de cada uno de los tipos anteriores y sus clases de conjugación.

La literatura sobre las teselaciones es considerable. El tratado de Grünbaum y Shephard [GrSh-87] es una de las referencias obligadas. Tras las charlas de Goutelas, el autor descubrió un libro reciente de Conway, Burgiel y Goodman-Strauss [CoBG-08], muy profusamente ilustrado, que es un firme candidato a convertirse en un clásico sobre el tema.

2. Equidescomposiciones

Existe una tradición bien establecida de recreaciones matemáticas de varios tipos. Uno de ellos consiste en encontrar equidescomposiciones : dadas dos partes del plano anterior, $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$, el juego consiste en imaginar un $\{ P_1,..., P_k\}$ de polígonos que permiten teselar ambos $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$, preferiblemente con un mínimo de $k$. En otras palabras, encontrar una equidescomposición de $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$ significa encontrar una variedad de piezas de un rompecabezas que tenga al menos estas dos soluciones. Son puzzles en el sentido de los que se encuentran en el mercado : una solución de un puzzle utiliza todas las piezas disponibles, cada una exactamente una vez.

Las familias de teselaciones modelo en el capítulo 1 y los capítulos subsiguientes también definen tipos de rompecabezas, pero en un sentido diferente, ya que consideran teselados (por ejemplo, del plano) en los que cada teselación modelo aparece un número arbitrario de veces y, a menudo, incluso un número infinito de veces.

Una condición obviamente necesaria para que dos partes del plano $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$ sean equidescomponibles es que sus áreas sean iguales. Esta condición también es suficiente : es el teorema de Bolyai-Gerwein-Wallace, que data de la década de 1830, ver por ejemplo [Bolt-78] y [Fred-97 ]. (En la dimensión $3$, la condición análoga para los volúmenes no es suficiente, lo cual sabemos al menos desde 1901, que es la fecha de publicación por Max Dehn de la solución del tercer problema [2] de Hilbert [3].)

Es importante no asumir a priori que $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$ están relacionados. Por ejemplo, $\mathbf F_1$ puede ser un polígono de área $a$ y $\mathbf F_2$ la unión de dos polígonos de área $b$ y $c$, con $a = b+c$.

Antes de dar algunos ejemplos, tenga en cuenta que hay muchas fuentes disponibles para las equidescomposiciones. Citemos primero una de las obras clásicas [Dude-70], en particular su capítulo de ’’problemas geométricos’’ (incluyendo tangrams). También nos referimos a un libro [Fred-97] y a los muchos sitios web (por ejemplo [Rous] y [WaBG]) donde uno puede encontrar mucho más.

La Figura 2 resume una demostración del teorema de Pitágoras para el cual $k=3$ ; está copiada de la página 89 de [BaCo-87] y alude a la llamada prueba de Perigal [Peri-73], un matemático aficionado inglés (1801-1898).

Figura 2 : el teorema de Pitágoras.

$ \ $

Ejercicio. Muestra equidescomposiciones para

(i) un triángulo con lados $a$, $b$, $c$ y un paralelogramo con lados $a,b/2$ ;

(ii) un paralelogramo con lados $a,b$ y un rectángulo cuyo lado es $a$ ;

(iii) un rectángulo de lados $a,b$ y un rectángulo de lados $c,d$ con $ab = cd$ ;

(iv) un octógono regular y un cuadrado de igual área.

[Sugerencia para (iii). No restringimos la generalidad suponiendo que $a > c$, y primero debemos suponer que $c$ no es mucho más pequeño que $a$.

Una solución de las partes (i), (ii) y (iii) del ejercicio proporciona ’’casi’’ una demostración del teorema de Bolyai-Gerwein-Wallace ; ver capítulo III de [BaCo-87]. La parte (iv) está sujeta a infinitas variaciones.]

Ejercicio-proyecto.
Estudie las teselaciones de Arquímedes, que son teselaciones en las que todas las figuras son polígonos regulares y en los que todos los vértices tienen vecindades congruentes por isometrías que conservan la orientación. Sabemos que hay $11$ de tales teselaciones módulo semejanza ($12$ módulo una semejanza más adecuada). Ver [GrSh-87], páginas 58-64 y 102-107.

Ejercicio.
Sea $\mathcal P$ una teselación regular del plano. Comprueba que el grupo de simetría $\Gamma$ de $\mathcal P$ actúa transitivamente sobre el conjunto de banderas de $\mathcal P$.

Una bandera $(S,A,P)$ de una teselación $\mathcal P$ está formado por un vértice $S$, una arista $A$ y una teselación $P$ de $\mathcal P$ tal que $S \in A \subset P$.
Para un teselado del plano, podemos definir la regularidad por la condición de que $\Gamma$ es transitiva en el conjunto de banderas.

Ejercicio.
Describir dos teselados monoédricos del plano por triángulos isósceles rectángulos, uno periódico y otro no periódico.

Obsérvese que, por el contrario, existe un único teselado del plano (módulo isometría) por hexágonos regulares, un teselado que es periódico. Esta propiedad, llamada monomorfismo, también es válida para un hexágono que tiene tres pares de lados opuestos paralelos de la misma longitud, así como para varios otros polígonos (ver figura 1.5.1 de [GrSh-87]).

Observación.
Una familia $\mathcal M = \{P^{(1)}, ..., P^{(n)}\}$ de modelos es monomórfica, dimórfica, ..., $r$-mórfica , ... si existe hasta la isometría exactamente $1$, $2$, ..., $r$, ..., $\mathcal M$ del plano. En #1.5 de [GrSh-87], el problema de si existen modelos de $r$-morfismos para todos los $r \ge 1$ se cita como aún abierto (lo mismo para $r $infinito contable) ; sabemos que existen tales modelos para $r \le 10$.

Digresión sobre un problema largo abierto : la conjetura de Minkowski

A primera vista, las teselaciones por cuadrados y sus análogos en otras dimensiones pueden parecer ’’fáciles’’ ; pero solo a primera vista. Sea $\mathcal P$ un mosaico de $\mathbf R^n$ por traslaciones del cubo unitario. ¿Existe necesariamente un par de teselas cuya intersección sea una cara $(n-1)$ de cada una de ellas ?

Si suponemos además que las teselaciones de $\mathcal P$ son todas las traslaciones del cubo unitario por una red (de traslaciones), la respuesta afirmativa fue conjeturada en 1907 por Minkowski (quien había dado muchas otras formulaciones, la primera en teoría de números). Esta conjetura de Minkowski fue probada para $n \le 3$ por él, para $n \le 6$ por Jansen (1909), y finalmente probada para todo $n$ por Hajos (1942).

La conjetura fue generalizada por Keller (1930) a todas las teselaciones mediante la traslación del cubo unitario (por lo tanto, se elimina la condición que implica una red). Esta conjetura de Keller fue probada para $n \le 6$ por Perron (1940), pero refutada para $n \ge 10$ por Lagarias y Shor (1992) (a menos que me equivoque : refutada desde $n \ge 8$).

Para todo esto, véase [Stei-74], la excelente monografía [StSz-94], y un resumen más reciente [Zong-05].

4. Polígonos que teselan el plano

Diremos que un polígono $P$ tesela el plano si existe un teselado del plano que es monoédrico por copias de $P$.
Así, la Proposición 3.1 muestra que un $n$-ágono regular tesela el plano si y sólo si $n \in \{3,4,6\}$. Más generalmente, una familia $\mathcal M = \{P^{(1)}, ..., P^{(n)}\}$ de modelos tesela el plano si hay un teselado del plano por copias de los $P^{(j)}$.

Es (casi...) obvio que cualquier triángulo tesela el plano. En efecto, la unión de un triángulo $P$ y su simétrico con respecto a un lado de $P$ es un paralelogramo, y es (aún más) obvio que cualquier paralelogramo tesela el plano, como se ilustra en la figura 4.

Figura 4. Embaldosado del plano por triángulos, todos iguales.

Ejercicio.
Sea $P$ un hexágono con un par de lados opuestos paralelos de la misma longitud. Comprueba que $P$ tesela al plano.

Ejercicio.
Demuestre que cualquier cuadrilátero tesela al plano.

Ejercicio.
Exhiba pentágonos que teselen el plano y pentágonos que no lo teselen.

Observaciones.

1. El arte de embaldosar es tan antiguo como el mundo. Los testigos, entre muchos otros, son magníficos ejemplos del antiguo arte egipcio o islámico. Entre los muchos sitios web que ofrecen ilustraciones, consulte [Tess] y [Tess.org] ; algunos de ellos indican mosaicos de otras superficies, incluida la esfera y el plano hiperbólico.
2. Hay un artículo de 1968 que proporciona una lista de pentágonos convexos que forman mosaicos en el plano, confiando en una ’’prueba’’ de la integridad de esta lista. Sin embargo, siete años más tarde, Martin Gardner informó estos resultados en Scientific American, una revista de divulgación científica, y varios lectores exhibieron pentágonos convexos que cubrían el plano, ¡pero que no estaban en la lista ! Entre estos lectores notablemente perspicaces se encontraba Majorie Rice, que no formaba parte oficialmente de la hermandad de matemáticos profesionales, aunque la logró burlar. Para obtener más información sobre este tema, consulte en particular [Scha-78] y [Scha-81].
3. Sabemos caracterizar exactamente cuáles son los hexágonos convexos que teselan el plano : hay tres familias, incluida la de un ejercicio anterior. Ver [Rein-18], que es una tesis supervisada por Hilbert, así como [Kers-68] y [Boll-63].

En efecto, dados los ejercicios y observaciones precedentes, así como la siguiente proposición, el problema de caracterizar cuáles son los polígonos convexos de $n$ lados que teselan el plano queda por tanto resuelto con la única excepción del caso $n = $5.

Hay buenas condiciones suficientes para que un polígono $P$ forme mosaicos en el plano, por ejemplo, el de [Scha-80].

De manera más general, notemos que las teselaciones ofrecen muchos problemas abiertos de formulación simple ; se pueden encontrar pequeñas colecciones en el capítulo C de [CrFG-91] y el capítulo 4 de [BrMP-05].

Observaciones.

1. La siguiente demostración es una paráfrasis de la de [Nive-78].
2. El número de lados de $P^{(\omega)}$, al menos $7$, puede variar con $\omega$.
3. Del teorema isoperimétrico se deduce que $B = \pi d^2 / 4$ es correcto.
4. La propuesta excluye la existencia de ciertas disposiciones estrictas y no estrictas del plano. Tenga en cuenta que una teselación no estricta con ciertos modelos $P^{\omega}$ siempre puede verse como un mosaico estricto con una familia de modelos obtenidos a partir de $P^{\omega}$ introduciendo vértices de ángulos internos $\pi$ en algunos lados de $P^{\omega}$. Por ejemplo, un heptágono regular, con $7$ ángulos $5\pi/7$, puede verse como un polígono con $14$ vértices, de los cuales $7$ tiene ángulos $5\pi/7$ y $7$ tiene ángulos $\pi$. Obsérvese que un mosaico no estricto que tiene un número finito de modelos se convierte en el segundo punto de vista en un mosaico estricto que puede requerir un número infinito de modelos.
5. Como ejercicio : exhibe un heptágono no convexo que embaldosa el plano.

Digresión sobre otro problema abierto, números de Heesch

Sea $P$ un polígono plano. Dada una parte $Q$ compacta y conexa del plano, decimos que $Q$ tiene una $P$-corona si existe un teselado que tiene las siguientes dos propiedades :

• es una teselación de una parte del plano $C(Q)$ que contiene $\{ x \in \mathbf E \ \vert \ d(x,Q) \le \epsilon \}$, para una constante adecuada $ \epsilon > 0$ ;

• toda tesela de este teselado contenida en $C(Q) - Q$ es isométrica a $P$.

Para $k$ un entero $\ge 0$ o infinito, decimos que $Q$ tiene un número de Heesch al menos $k$ si, para todo $j \in \{1,2,..., k\} $, existe una $P$-corona $C^j(Q) = C(C^{j-1}(Q))$ de $C^{j-1}(Q)$. El número de Heesch de un polígono $P$ es el número entero (o el símbolo $\infty$) $k$ tal que $P$ tiene un número de Heesch al menos $k$, pero no tiene un número de Heesch $k+1$ (a tomar cum grano salis si $k = \infty$).

Por ejemplo : un pentágono regular tiene el número de Heesch cero, el polígono de la figura 5 tiene el número de Heesch $1$ y un triángulo tiene el número de Heesch $\infty$ (lo mismo para cualquier polígono que coloque mosaicos en el plano). La lista de ’’registros de Heesch’’ es muy corta :

• (1968)
  H. Heesch define ’’su’’ número y describe un ejemplo del número de Heesch $1$ (a posteriori, se pueden encontrar ejemplos anteriores a la definición de Heesch) ;
• (1991)
  A. Fontaine describe polígonos de Heesch número $2$ y R. Ammann presenta un ejemplo de Heesch número $3$ (el récord se mantendrá durante una docena de años) ;
• (2004)
  C. Mann describe ejemplos de números de Heesch $4$ y $5$ (parcialmente ’’pruebas de computadora’’).

Parece que, en el plano hiperbólico, no se conoce ningún ejemplo de un número de Heesch $\ge 2$. En el espacio euclidiano tridimensional, hay candidatos del número de Heesch $8$, pero ningún ejemplo con prueba que supere los números de Heesch conocidos para el plano.
En la esfera $\mathbf S^2$, hay un ejemplo del número de Heesch $3$.

Para todo esto, ver [Mann-04] y [Mann], así como el original [Hees-68] (página 23).

Figura 5 : número de Heesch 1.

Me gustaría agradecer a Réza Bourquin, quien me proporcionó las imágenes para este texto.

Referencias

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Mathematical recreations and essays,
Thirteenth Edition, Dover, 1987.
[En fait, $27$e édition !
la première édition, de Ball seul, date de 1892,
les éditions de 1947, 1974 et 1987 sont à deux auteurs.]

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Voir en particulier le
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[attention au théorème de cet article concernant les pentagones,
qui n’est pas correct].

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