Un desafío por semana

Agosto 2014, quinto desafío

Le 29 août 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 30 août 2014
Article original : Août 2014, 5ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 35 :

Se quiere hacer tarjetas para representar los números de $000$ a $999$. Cada tarjeta tiene un número, y algunas tarjetas representan $2$ números a la vez. Por ejemplo, al voltear la tarjeta con el $618$ se obtiene la tarjeta con el $819$. Si únicamente las tarjetas formadas a partir de las cifras $0$, $1$, $6$, $8$ y $9$ pueden ser leídas en ambos sentidos ¿cuántas cartas hay que hacer ?

Solución del cuarto desafío de agosto

Enunciado

La respuesta es no.
Supongamos que sí se puede hacer tal repartición en $11$ sub-conjuntos $\{a, b, c\}$ : se obtiene por ejemplo que $a+b=c$. De ese modo $a+b+c=2c$, por lo tanto la suma de los tres naturales de cada sub-conjunto es par. En consecuencia, la suma de los números $1$, $2$, $\dots$, $33$ debe ser par. Sin embargo, $1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ es un número impar, lo que es una contradicción. Es por eso que el conjunto $\{1, 2, 3, \dots, 32, 33\}$ no puede ser dividido en 11 sub-conjuntos con las propiedades pedidas.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2014, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’La cuártica de Klein’’, por Jos Leys.

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