Un desafío por semana

Agosto 2016, cuarto desafío

El 26 agosto 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 26 agosto 2016
Artículo original : Août 2016, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 35 :

El último dígito de un número entero se ha borrado, y la diferencia entre el número obtenido y el número inicial es $2016$. Encontrar todos lo números enteros que satisfacen esta condición.

Solución del tercer desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es $360$.

La suma de los ángulo de un polígono convexo de $n$ lados es $180^{\circ}(n-2)$. Si uno de sus ángulos mide más de $180^\circ$, el polígono no puede ser convexo, por lo que la medida máxima entera de un ángulo es de $179^{\circ}$. Por lo tanto, podemos escribir la desigualdad $180(n-2) \leq 179n$, lo cual implica $n \leq 360$.

Veamos si podemos construir un polígono convexo con $360$ lados. Tomemos sobre una circunferencia $360$ puntos tales que la distancia entre dos puntos consecutivos sea siempre la misma. Estos $360$ puntos son los vértices de un polígono convexo con $360$ lados cuyos ángulos miden

$\frac{180^\circ(360-2)}{360}=180^\circ -1^\circ=179^\circ.$

Por lo tanto, el número máximo de lados es $360$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2016, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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