Un desafío por semana

Agosto 2016, primer desafío

El 5 agosto 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 5 agosto 2016
Artículo original : Août 2016, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 32 :

Dado un número real $x$, denotamos por $\lfloor x\rfloor$ al mayor entero que es menor o igual a $x$, y por $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ a la parte decimal de $x$. Encontrar todos los números no negativos $x$ que cumplen $\lfloor x\rfloor\times \{x\}=x$.

Solución del quinto desafío de julio:

Enunciado

La respuesta es $9$.

Los números $a, b, c$ y $d$ son distintos entre sí, por lo que $1-a$, $1-b$, $1-c$ y $1-d$ también lo son. Como la descomposición en factores primos de $10$ es $2\times 5$, $10$ solo se puede escribir como el producto de $4$ enteros distintos si dos de ellos son $1$ y $-1$. Los otros dos factores son entonces $-2$ y $5$ o $2$ y $-5$.

Como $a>b>c>d$ tenemos $1-a< 1-b<1-c<1-d$. De donde $1-b =-1$ y $1-c=1$, lo que implica $b=2$ y $c=0$. Tenemos ahora que considerar dos casos. En el primero, $1-a=-2$ y $1-d=5$, por lo que $a=3$ y $d=-4$. En el segundo caso, $1-a=-5$ y $1-d=2$, por lo que $a=6$ y $d=-1$.

El valor de $a+b-c-d$ es entonces $3+2-0-(-4)=9$ en el primer caso y $6+2-0-(-1)=9$ en el segundo. Por lo tanto, en ambos casos, $a+b-c-d=9$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2016, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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