Enunciado

La respuesta es $\frac{2}{27}\, \mbox{cm}^2$.

Denotemos como $\mbox{área}(XYZ)$ al área del triángulo $XYZ$. Como $XZ$ es paralela a $YC$, al usar el teorema de Tales tenemos $\frac{1}{2} =\frac{AX}{XY}=\frac{AZ}{ZC}$, de donde $ZC=2AZ$. Del mismo modo, al usarlo con $YZ$ paralela a $BC$, tenemos

$\frac{YZ}{BC}= \frac{AY}{AB}=\frac{AZ}{AC}=\frac{AZ}{AZ+ZC}=\frac{1}{3}.$

Como los triángulos $XYZ$ y $AYZ$ tienen la misma altura desde $Z$, tenemos

$\frac{\mbox{área}(XYZ)}{\mbox{área}(AYZ)}=\frac{XY}{AY}=\frac{2AX}{AX+XY}=\frac{2AX}{3AX}=\frac{2}{3}.$

Similarmente, los triángulos $AYC$ y $ABC$ tienen la misma altura desde $C$ ; por lo tanto

$\frac{\mbox{área}(AYC)}{\mbox{área}(ABC)}=\frac{AY}{AB}=\frac{1}{3}.$

Para terminar, los triángulos $AYZ$ y $AYC$ tienen en común la base $AY$. Denotemos como $S$ y $T$ a los puntos de $AY$ donde caen sus respectivas alturas. Tenemos que los triángulos $ASZ$ y $ATC$ son semejantes pues sus ángulos son iguales. Luego,

$\frac{\mbox{área}(AYZ)}{\mbox{área}(AYC)}=\frac{SZ}{TC}=\frac{AZ}{AC}=\frac{1}{3}.$

Por lo tanto,
$\mbox{área}(XYZ)=\frac{2}{3}\mbox{área}(AYZ)=\frac{2}{9}\mbox{área}(AYC)=\frac{2}{27}\mbox{área}(ABC)=\frac{2}{27}\,\mbox{cm}^2.$