Un desafío por semana

Agosto 2018, cuarto desafío

El 24 agosto 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 24 agosto 2018
Artículo original : Août 2018, 4e défi Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 34:

En Piesraros, los hombres tiene el pie izquierdo dos tallas más grandes que el derecho, y las mujeres una talla más grande. Sin embargo, los zapatos se venden en pares de igual talla. Un grupo de amigos compró una colección de zapatos y solo quedaron dos: uno de talla $21$ y uno de talla $30$. ¿Cuál es el menor número de personas que podría tener el grupo?

Solución del tercer desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es: no es posible.

Supongamos que sí podemos repartir los números en $11$ subconjuntos. Entonces, para cada uno de estos $11$ subconjuntos $\{a, b, c\}$, obtenemos, por ejemplo, que $a+b=c$. Por lo tanto, $a+b+c=2c$, y luego la suma de los tres enteros de cada subconjunto es par. En consecuencia, la suma de los números $1$, $2$, $\dots$, $33$ debe ser par.

Sin embargo
$1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ es un número impar, lo cual es una contradicción. Por esta razón,
\[\{1, 2, 3, \dots , 32, 33\}\]
no puede ser divisible en $11$ subconjuntos con las propiedades pedidas.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

— «Agosto 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.