Un desafío por semana

Agosto 2018, tercer desafío

El 17 agosto 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 17 agosto 2018
Artículo original : Août 2018, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 33:

¿Es posible dividir el conjunto $\{1, 2, 3, \dots, 32, 33\}$ en $11$ subconjuntos disjuntos que contengan cada uno tres elementos, y uno de estos sea igual a la suma de dos otros?

Solución del segundo desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es: $e>d>a>b>c.$

Por hipótesis
\[ \begin{eqnarray} a & > & b\label{ab} \\ e-a & = & d-b\label{eadb} \\ c-d & < & b-a \label{cdba}\\ a+b & = & c+d.\label{abcd} \end{eqnarray} \]

Sumando $(\ref{cdba})$ y $(\ref{abcd})$ obtenemos que

\[ \begin{array}{cccr} c-d+c+d & < & b-a +a+b & \\ 2c & < & 2b & \\ c & < & b. & \\ \end{array} \]

Usando las mismas expresiones $(\ref{cdba})$ y $(\ref{abcd})$ obtenemos que
\[ \begin{array}{cccc} c-d+a+b & < & b-a +c+d & \\ -d+a & < & -a+d & \\ 2a & < & 2d & \\ a & < & d. & \\ \end{array} \]

Como $a>b$ y $e-a=d-b$, tenemos que $a+(e-a)>b+(d-b)$, es decir, $e>d$.
Por lo tanto, $e>d>a>b>c.$

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2018, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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