Un desafío por semana

Agosto 2020, tercer desafío

El 21 agosto 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 21 agosto 2020
Artículo original : Août 2020, 3e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 34

En una ronda de juego se puede girar en $180^\circ$ exactamente cinco de seis triángulos. ¿Será posible que al cabo de unas rondas todos los triángulos apunten hacia abajo?

Solución del segundo desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es $\frac{2}{3}$.

Enumeremos los dados como en la figura de abajo. Sin importar cuál dado Juan escoja, Lea siempre podrá escoger en el mejor de los casos un dado con $\frac{2}{3}$ de probabilidad de ganar.

Por ejemplo, si Juan escoge el primer dado (con cuatro $4$ y dos $0$), entonces Lea escogería el cuarto dado (con tres $5$ y tres $1$). En total hay $36$ diferentes posibilidades de tiros, y en seis de estas obtenemos el par $(0,1)$; en otras seis, el par $(0,5)$; en $12$, el par $(4,1)$; y finalmente en $12$ más el par $(4,5)$. Así, Lea gana en $24$ casos de $36$: la probabilidad de que gane es de $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

Si Lea hubiese escogido el segundo dado, la probabilidad de ganar habría sido de $\frac{2\times 6}{36} = \frac{1}{3}$, y si hubiese escogido el tercero, la probabilidad hubiera sido de $\frac{2\times 4 + 4\times 2}{36} = \frac{4}{9}$. De este modo, si Juan escoge el primer dado, lo mejor que Lea podría hacer sería escoger el cuarto, y en tal caso Juan gana con probabilidad de $\frac{2}{3}$.

Analizando uno a uno los casos restantes, llegamos a la conclusión de que la mejor probabilidad de ganar que Lea tiene es $\frac{2}{3}$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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