Un desafío por semana

Agosto 2021, cuarto desafío

El 27 agosto 2021  - Escrito por  Ana Rechtman
El 27 agosto 2021
Artículo original : Août 2021, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 34

Construyamos una sucesión de números como sigue: escribimos los cuatro primeros enteros, luego saltamos uno; escribimos los cinco siguientes, y luego brincamos los dos próximos; escribimos los seis subsecuentes, y luego omitimos los tres que vienen, y así sucesivamente: $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13,\ldots$

¿Cuál es el número que ocupa el lugar $500\,000$ de la sucesión?

Solución del tercer desafío de agosto:

Enunciado

Si $ABCD$ es el rectángulo en cuestión, denotemos por $E, F, G$ y $H$ los centros de los cuadrados construidos.

Consideremos los cuatro triángulos grises de la figura a continuación:

PNG - 50.9 KB

Cada uno está formado de dos vértices consecutivos de un cuadrado, así que del centro del cuadrado elevado sobre este lado.

Podemos deducir que sus ángulos internos miden $45^\circ, 45^\circ$ y $90^\circ$. Entonces el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo. Además, los triángulos $ABE$ y $CDG$ son superponibles, así como lo son los triángulos $BCF$ y $DAH$ entre sí. De aquí sacamos que las longitudes de los lados de $EFGH$ son iguales, y por tanto, este cuadrilátero es un cuadrado.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2021, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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