Un desafío por semana

Agosto 2022, primer desafío

Le 5 août 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 5 août 2022
Article original : Août 2022, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes y su solución la semana siguiente.

Semana 31

Consideramos un cubo de lado $1$ cm. De entre los $56$ triángulos con vértices en las esquinas del cubo, ¿cuántos son equiláteros ?

Solución del quinto desafío de julio 2022 :

Enunciado

Respuesta : un par.

Notemos que
\[ \begin{eqnarray*} (x^{20}-y^{20})^2&=& x^{40} - 2x^{20}y^{20} +y^{40}\\ &=&(xy)^{20}-2x^{20}y^{20}.\\ &=&-(xy)^{20} \end{eqnarray*} \]

Puesto que el número de la izquierda es un cuadrado, por tanto no negativo, y el de la derecha es el inverso de un cuadrado, por tanto no positivo, ambos deben ser iguales a $0$.

La anulación del segundo nos da $(xy)^{20}=0$, lo cual implica $xy=0$ y, por tanto, $x=0$ o $y=0$.

La anulación del primer miembro da entonces la anulación de la otra variable. En consecuencia, hay solo una pareja de soluciones : $(0,0)$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022. Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2022, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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