Algebrizar

Piste rouge Le 8 novembre 2013  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 29 octobre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Algébriser Voir les commentaires
Lire l'article en  

’’Algebrizar’’ una pregunta significa reformularla de manera que se pueda tratarla mediante cálculos... algebraicos. Pero estos no se apoyan necesariamente en números reales. Pueden operar con ’’números’’ en un sentido generalizado. Uno de los desafíos de la algebrización es encontrar, frente a un problema, cuáles tipos de ’’números’’ se adaptan para resolverlo mediante cálculos. Explicaremos aquí esto, a través del ejemplo de un juego muy simple.

El verbo presente en el título de este artículo está ausente en la mayoría de los diccionarios que consulté. Y cuando se le encuentra, por ejemplo -en francés- en el Trésor de la langue française, es definido ya sea como acción de hacer álgebra, ya sea como apego a los aspectos abstractos y generales de una situación. Sin embargo, los matemáticos lo utilizan en otro sentido de manera totalmente habitual, y desde hace bastante tiempo.

Mi objetivo es explicar esta otra acepción del término, ilustrándolo con un ejemplo lúdico. Antes que todo, la definición que yo propongo para esta acepción :

Definición : Algebrizar una pregunta consiste en reformularla en términos algebraicos, es decir, que puedan prestarse para un cálculo.

Un ejemplo fundamental de algebrización que sigue esta interpretación del término es la transformación sistemática de preguntas de geometría plana en preguntas de álgebra, de la manera iniciada por Descartes y Fermat, vía el estudio de las ecuaciones que definen las curvas en juego. Así se reformula la pregunta geométrica inicial en otra, abierta a cálculos con números reales.

Presentaré aquí otra situación de algebrización, que tiene la ventaja de mostrar que la traducción a un problema algebraico no conduce necesariamente a cálculos apoyados en números reales. En este ejemplo, se tratará de cálculos efectuados dentro de un campo finito de ’’números’’.

En general, el campo de ’’números’’ en el cual se harán los cálculos después de la operación de algebrización depende de la pregunta prevista. Se trata simplemente de un conjunto de objetos con los cuales uno puede calcular, lo que en matemáticas se llama una ’’estructura algebraica’’ [1]. Es una de las razones por las cuales el estudio de las estructuras algebraicas es importante en ciencias : el fin es preparar la mente para no decidir con anticipación a cuál campo de ’’números’’ traducir la situación dada en un asunto calculatorio, sino reconocer aquel que le es más adecuado [2].

El juego de la rueda con colores

Vamos al ejemplo lúdico anunciado, el ’’juego de la rueda con colores’’.

Hay que proveerse de dos discos desiguales, fabricados por ejemplo en cartón. Luego se les fija horizontalmente sobre un soporte, con ayuda de un alfiler o un chinche que pasa por sus centros, colocando el disco pequeño encima del grande. Se hace que el disco grande quede fijo pero que el pequeño pueda girar fácilmente en torno al eje. Se coloca entonces fichas de colores diferentes sobre el disco grande, a lo largo de su borde, de manera que las distancias entre fichas sucesivas sean iguales entre sí, como los números sobre el disco de un reloj [3].

Se dispone de un segundo juego de fichas con los mismos colores y en igual cantidad que las anteriores, que se coloca sobre el disco pequeño frente a las primeras. La exigencia es que haya solo una ficha frente a otra que tenga su mismo color, y esto independientemente de la manera de girar el disco pequeño para que las fichas se encuentren frente a frente.

¿Es posible una ubicación así ?

La respuesta es :

  • , cuando el número de fichas es impar (un ejemplo de semejante ordenamiento está ilustrado en el logo del artículo) ;
  • no, cuando es par.

¿Puede demostrarlo ?

Una reformulación del juego

François Sauvageot reformuló este juego de la manera siguiente bajo la forma de una lotería.

Uno divide una rueda grande y una pequeña en sectores angulares de igual tamaño y les atribuye colores, un color diferente en cada sector, pero sin colorear los dos círculos de la misma manera. Se centra las dos ruedas sobre un eje de manera que la pequeña pueda girar, pero no la grande. Se añade también espolones o salientes de modo que, cuando se haga girar la rueda pequeña, termine deteniéndose sólo en una posición donde sus sectores de colores se encuentren frente a los sectores de la rueda grande. Los jugadores eligen un color y ganan cuando los dos sectores de su color -sobre la rueda grande y la pequeña- quedan en el mismo lugar.

Ya que se trata de una lotería, a uno le gustaría que cada vez que se haga girar la rueda, haya exactamente un ganador.

La pregunta es : en función del número de colores (esto es, de jugadores) ¿se puede fabricar dos ruedas así ? ; y si es así, ¿cómo ?

La solución que encontré procede por algebrización en el sentido definido más arriba. Lo explico en la sección siguiente con el fin de ilustrar esta definición.

Esta solución necesita el bagaje conceptual de los cálculos hechos con los números naturales ’’módulo $n$’’. Por el contrario, el juego mismo tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible, incluso por niños muy pequeños, que pueden disfrutarlo [4]. Existe de hecho una tesis en didáctica de las matemáticas que explora la posibilidad de iniciar a los niños en situaciones de búsqueda durante sus estudios primarios, y eso gracias a este juego. Fue escrita por Karine Godot, y se puede consultar
aquí [5].

El caso de un número par de fichas

Voy a explicar primero por qué el juego no tiene soluciones si el número de fichas del disco grande es par.

Escribamos como $n$ su número. Se puede elegir arbitrariamente una de ellas como ficha de partida, denotada $0$, y luego ponerse a enumerarlas en el orden después de haber elegido un sentido de rotación ’’positivo’’. Las fichas del disco grande se encuentran entonces enumeradas de $0$ a $n-1$.

Estos números son precisamente los residuos de la división por $n$ de los números naturales usuales. Por lo tanto ellos representan de alguna manera lo que queda de un natural cuando uno se interesa sólo en sus propiedades frente a la división por $n$. En particular uno puede estudiar las operaciones habituales de adición, sustracción, multiplicación, desde ese punto de vista, guardando cada vez sólo el residuo de la operación. Se obtiene operaciones análogas que se centran en esos residuos.

Algunos ejemplos

Por ejemplo, si se trabaja con $n=5$, se tiene $\: 3 + 4 = 2$, pero también $\: 3 \times 4 = 2$ luego $\: 3 - 4 = 4$ , ya que en el sentido usual los resultados de esas operaciones son $\: 7, 12 , -1$ , cuyos residuos de la división por $\: 5$ son $\: 2$, de nuevo $\: 2$ y finalmente $\: 4$.

Un ejemplo más corriente proviene de la numeración de $0$ a $23$ de las horas de un día a partir de la medianoche. Se hace entonces cálculos módulo $24$. Por ejemplo, si ahora son las 19 horas, ¿qué hora será en 14 horas más ? Bueno, serán las 9 horas, ya que $19 + 14 = 9$ módulo $24$.

El cálculo hecho sobre las horas que figuran en un reloj, de $1$ a $12$, es absolutamente análogo. En ese caso se trabaja módulo $12$, pero en lugar de utilizar el residuo $0$, se le reemplaza en todas partes donde interviene en los cálculos por el número $12$.

Este nuevo campo de números con los cuales se puede hacer también operaciones aritméticas fue introducido por Gauss en su famoso tratado’’Disquisitiones Arithmeticae’’, publicado en 1801. Él les llamó ’’números módulo $n$’’ [6].

Las fichas del disco grande se encuentran por lo tanto numeradas por ellos. Y los cálculos que nos llevarán a efectuar se centrarán en este tipo de ’’números’’. Podemos considerar que las fichas están en realidad coloreadas por esos ’’números’’. Reemplazaremos también los colores de las fichas dispuestas sobre el disco pequeño por el ’’número’’ correspondiente.

Supongamos por contradicción que se puede disponer las fichas siguiendo las exigencias del juego. Para cada número $x$ módulo $n$, notamos como $x'$ el número de la ficha exterior que se encuentra frente a la ficha interior número $x$. Un poco de reflexión permite convencerse de que es necesario girar el disco pequeño en $x - x'$ escalones en el sentido positivo para llevar la ficha interior número $x$ frente a la ficha exterior del mismo número.

Por ejemplo, en la figura siguiente, se tiene $n =6$ y $0' = 1, 1' = 5$, $2' = 2, 3' = 4$, $4' =3, 5' = 0$. En especial, hay que girar el disco interior en $3 - 3' = 3 - 4 =5$ (módulo $6$) escalones en el sentido positivo para que las fichas numeradas con $3$ se encuentren frente a frente.

La hipótesis de que para cada rotación no hay más que un solo par de fichas frente a frente que lleven el mismo número nos dice que las diferencias $x - x'$ son todas distintas entre ellas, en cuanto números módulo $n$. En efecto, si se tuviese una igualdad $x - x' = y - y' = d$ para $x \neq y$, entonces al girar el disco pequeño en el sentido positivo en $d$ escalones, se pondría a la vez cara a cara las fichas número $x,x'$ y aquellas número $y,y'$.

Como en total hay $n$ de esas diferencias (tanto como números módulo $n$), esto significa que su suma
\[S = (0 -0') + (1 -1') + (2 - 2') + \cdots + ( (n-1) - (n-1)' )\]
es igual, módulo $n$, a la suma $0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1).$ Pero si se trabaja con números naturales ordinarios, esta última suma vale $\frac{(n 1)n}{2}$ [7]. Por lo tanto $S$ es igual a $\frac{(n-1)n}{2}$ módulo $n$.

La suma $S$ puede ser calculada de una segunda manera :
\[S = (0 + 1 + \cdots + (n-1) ) - (0' + 1' + \cdots + (n-1)' ).\]
Como los números $x'$ recorren todos los naturales módulo $n$ cuando $x$ recorre esos mismos naturales, se deduce que en esta suma cada natural módulo $n$ se encuentra una vez positivamente y una vez negativamente. La suma es, por lo tanto, nula módulo $n$.

Al comparar las dos maneras de calcular la suma, se deduce que el número natural $\frac{(n-1)n}{2}$ es nulo módulo $n$, es decir que es divisible por $n$. Pero recordemos que se ha supuesto que $n$ es par : $n = 2m$. Entonces $\frac{(n-1)n}{2} = (2m - 1)m$, que no es divisible por $2m$. La prueba por contradicción ha terminado.

¿Cómo pensé en esta prueba ? Bueno, porque tenía en mente la representación geométrica de los naturales módulo $n$ mediante los vértices de un polígono regular con $n$ vértices, y yo sabía que las adiciones y las sustracciones se interpretaban con ayuda de las rotaciones del polígono. Viendo que la pregunta planteada por el juego trata acerca de lo que sucede cuando se hace girar un polígono regular, reconocí que esto se traducía fácilmente en un asunto algebraico acerca de esos naturales módulo $n$.

En términos más generales, el álgebra solo es verdaderamente una herramienta eficaz si uno aprende a reconocer sus diversos campos de ’’números’’ (los diversos tipos de ’’estructuras algebraicas’’) bajo diversos atavíos, en especial geométricos.

El caso de un número impar de fichas

Para terminar, me gustaría explicar cómo la anterior algebrización permite encontrar muy fácilmente una manera de disponer las fichas internas según la exigencia hecha, cuando su número es impar.

Hemos visto que esto significa encontrar una manera de asociar a cada número $x$ módulo $n$ otro número $x'$ módulo $n$, tal que las diferencias $x - x'$ sean distintas de a dos. Como ahora uno se encuentra en un estado mental ’’algebraico’’, busca expresiones $x'$ que se manifiestan mediante una fórmula a partir de $x$. Tomar $x' = x + c$ como una cierta constante $c$ no funciona, ya que en ese caso todas las diferencias $x - x'$ serían iguales. Busquemos entonces multiplicar $x$ por una constante. Eso funciona : lo más simple es plantear $x' = 2x$, por supuesto módulo $n$. Entonces $x - x' = -x$, lo que muestra que esas diferencias ¡son distintas de a dos !

Espere, este argumento ¿no es también válido cuando $n$ es par ? Por supuesto que sí... salvo que los números de la forma $2x$ módulo $n$ son distintos de a dos cuando $x$ recorre los naturales módulo $n$ solo cuando $n$ es impar [8]. Por lo tanto, es únicamente en ese caso donde la fórmula ’’algebraica’’ $2x$ da una numeración de las fichas interiores que respeta la exigencia de tener los números diferentes entre sí.

Pero, ¿si uno cambiara esa exigencia permitiéndose utilizar muchas veces el mismo color ? ¿y si uno estableciera desde el inicio los colores disponibles para las fichas interiores ? O bien, conservando las mismas reglas ¿cómo calcular el número de soluciones cuando $n$ es impar ?

Muchas otras preguntas pueden plantearse alrededor de este juego. Ahí hay material para experimentación incluso para niños de la escuela primaria, como usted lo descubrirá si consulta la tesis de Karine Godot.

Post-scriptum :

¡Muchas gracias a François Sauvageot, Massy Soedirman y a Bernard Valentin por sus comentarios !

Article original édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Hay de todas clases, con nombres divertidos : magmas, monoides, retículos, grupos, anillos, cuerpos, álgebras, operads, etc. ; pero tranquilícese : no es necesario en absoluto haber escuchado de esto para leer la continuación.

[2En mi ejemplo, el objeto algebraico adecuado es un anillo conmutativo. Pero hay que estar listo para utilizar también objetos no conmutativos, como lo muestra esta algebrización hecha por Alain Connes de un célebre teorema de geometría elemental planteado por Morley.

[3Las fichas se encuentran por lo tanto en los vértices de un polígono regular. Por supuesto no se trata de hacerlo de manera exacta sino aproximada, a ojo.

[4Descubrí este juego en la oficina de Genţiana Dănilă, de la Université Paris 7 Denis Diderot, que lo utiliza en sus sesiones de divulgación matemática para niños.

[5Ahí se descubre que una versión de este asunto se encuentra en la página 106 del libro Math’Circus de Martin Gardner, del cual se publicó una traducción en francés en 1986 por la editorial Belin. La solución que ahí se propone es la misma que la que yo encontré, pero está explicada en términos más elementales, sin recurrir a los naturales módulo $n$. Otra variante de la misma solución está explicada en la tesis.

[6Mi afirmación es ligeramente anacrónica : en realidad Gauss introdujo la noción de ’’congruencia módulo $n$’’ y no fue sino hasta después que se vio ahí la descripción de un campo finito de ’’números módulo $n$’’.

[7Una leyenda muy extendida afirma que Gauss, aún niño, encontró una manera muy simple de probar esta identidad : basta con considerar dos veces esta suma, en el orden y en el orden inverso, luego adicionar cada término de una al término de la otra de igual rango. Se obtiene $n$ veces la suma parcial $n-1$. Pero la suma total vale dos veces la suma que se quería calcular, lo que causa la identidad deseada.

[8¡Demuéstrelo !

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Algebrizar» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?