Algunas propiedades de los cuadrados perfectos

Piste verte Le 12 avril 2011  - Ecrit par  François Brunault
Le 6 février 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Quelques propriétés des carrés parfaits Voir les commentaires
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Aquí mostramos con ejemplos que la geometría puede interferir en la aritmética, y recíprocamente...

¡ Aritmética, álgebra, geometría ! ¡ Trinidad grandiosa ! ¡ Triángulo luminoso ! ¡ Quien no os ha conocido es un insensato !

Lautréamont, Los Cantos de Maldoror, Segundo Canto.

En este artículo conoceremos una categoría especial de números enteros : los cuadrados perfectos. Estos números poseen propiedades muy ricas, a veces simples, otras veces secretas, pero siempre sabrosas. Explicaremos cómo la geometría permite aclarar propiedades de naturaleza aritmética, y recíprocamente. Veremos igualmente cómo simples observaciones numéricas sobre las sumas de los cuadrados pueden conducir naturalmente a preguntas interesantes sobre los números primos...

Cuadrados perfectos

Un número entero $N$ es dicho cuadrado si es posible disponer $N$ objetos de manera a formar un cuadrado, como en la figura siguiente :

Los primeros enteros cuadrados son por tanto el 1, 4, 9, 16... A veces se utiliza también el término cuadrado perfecto, el cual se explica por el hecho de que no hay objeto ’’faltante’’ o ’’de más’’ en la figura cuadrada trazada [1]. Algébricamente, los enteros cuadrados se obtienen multiplicando un entero cualquiera por sí mismo : 1 = 1 × 1 ; 4 = 2 × 2 ; 9 = 3 × 3 ; etc.

He aquí una primera propiedad de los enteros cuadrados, a priori sorprendente : es posible calcular la sucesión de estos números haciendo solo sumas. Para ver esto, usemos la definición geométrica de los enteros cuadrados, y veamos cómo pasar de un número al otro :

Para pasar del primer cuadrado al segundo, se agrega 3 objetos. Para pasar del segundo al tercero, se agrega 5. Del tercero al cuarto, se añade 7, y así sucesivamente... ¡ Notamos que la sucesión de números que vamos agregando no es sino la sucesión de números impares ! La tabla de abajo, llamada tabla de diferencias, resume la situación :

Cuadrados 1 4 9 16 25 36 49 64
Diferencias 3 5 7 9 11 13 15

Los números de abajo se obtienen calculando las diferencias sucesivas de los números de arriba. Recíprocamente, todo número de la primera línea se obtiene sumando el número situado a su izquierda con el que está abajo. Como la fila de abajo es conocida, que da claro cómo calcular, de uno en uno, los cuadrados, y esto haciendo solo sumas. Una demostración algebraica de esta propiedad es dada abajo.

Cálculo algebraico de diferencias

Queremos calcular la diferencia entre dos cuadrados consecutivos. Para todo entero $n$, el $n$-ésimo cuadrado vale $n^2=n \times n$. Por lo tanto, el $(n+1)$-ésimo cuadrado es igual a $(n+1)^2=n^2+2n+1$. Se sigue entonces que la diferencia entre el $(n+1)$-ésimo cuadrado y el $n$-ésimo cuadrado viene dada por $(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$. Esta diferencia es un número impar, y cuando $n$ recorre todos los enteros, el número $2n+1$ recorre todos los números impares.

El $n$-ésimo cuadrado es, por tanto, la suma de los $n$ primeros números impares. Además, el $k$-ésimo número impar es igual a $2k-1$ (en efecto, se verifica que 1 = 2 × 1 - 1 ; 3 = 2 × 2 - 1 ; 5 = 2 × 3 - 1 ; etc.). Se deduce así la fórmula algebraica siguiente :
\[n^2 = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1).\]

Este método presenta a priori un inconveniente : para calcular un término preciso de la secuencia, parece necesario calcular todos los términos precedentes... En realidad, se puede hacer algo mejor. Supongamos por ejemplo que se sepa que 11 × 11 = 121 et 12 × 12 = 144. La diferencia entre esos cuadrados vale 144 - 121 = 23. Se deduce entonces que 13 × 13 = 144 + 25 = 169, luego 14 × 14 = 169 + 27 = 196, etc. Otra ventaja de este método es que admite generalizaciones. Se puede, por ejemplo, calcular la sucesión de cubos por un procedimiento análogo [2].

De manera sorprendente, el cálculo de diferencias aparece (de una forma mucho más elaborada) en otros dominios de la matemática. Por ejemplo, el método de diferencias finitas en una herramienta fundamental en análisis numérico, que tiene numerosas aplicaciones concretas como la simulación de ecuaciones que nacen de la física o la biología... Remitimos al lector interesado al curso de física de Richard Feynman [Fey] por un ejemplo de resolución numérica de ecuaciones de la física por medio de tablas de diferencias. Para el tratamiento matemático de las diferencias finitas, se puede consultar [Cia].

Ternas pitagóricas

Consideramos ahora un problema de geometría clásico : ¿ es posible encontrar un triángulo rectángulo cuyos lados tengan longitudes enteras ? Denotemos $a$, $b$ y $c$ dichas longitudes, como en la figura de abajo :

El teorema de Pitágoras nos dice que este triángulo es rectángulo si y solo si la igualdad $a^2+b^2=c^2$ se verifica. Nos confrontamos entonces a un problema puramente aritmético : hallar enteros $a$, $b$ y $c$ tales que $a^2+b^2=c^2$. Una terna $(a,b,c)$ de este tipo es dicha pitagórica. La terna pitagórica más pequeña es (3,4,5) : se verifica efectivamente que 9 + 16 = 25. Otra terna pitagórica es (5,12,13) : ya vimos más arriba que 25 + 144 = 169. Una aplicación simpática de las ternas pitagóricas es que se puede medir ángulos rectos con la ayuda de una cuerda provista de nudos espaciados regularmente, como en la figura de abajo :

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\[\mbox{Una cuerda cerrada con doce nudos permite ''construir'' un ángulo recto}\]

¿ Existen otras ternas pitagóricas ? He aquí un método, atribuido a Pitágoras [3], para construirlas. Volvamos a la definición geométrica de los números cuadrados y observemos nuevamente la figura utilizada con anterioridad :

En cada etapa, el número de puntos azules es visiblemente igual a la diferencia entre dos cuadrados. Por otra parte, ya vimos que el número de puntos azules puede ser un número impar arbitrario. Si elegimos entonces un cuadrado perfecto impar, habremos escrito un cuadrado (el número de puntos azules) como diferencia de dos cuadrados, de donde nace una terna pitagórica. Puesto que la sucesión de cuadrados impares es infinita, este procedimiento entrega una infinidad de ternas pitagóricas, comenzando por (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25)...

He aquí una construcción de ternas pitagóricas que se halla en una obra monumental, los Elementos de Euclides [4]. Consideremos dos cuadrados arbitrarios e intentemos hacer que su diferencia sea un cuadrado. Geométricamente, est significa considerar la figura siguiente :

La región azul era llamada gnomon por los griegos. Su área es la diferencia entre las áreas de los cuadrados exterior e interior. ¿ Se puede hacer que el área del gnomon sea un cuadrado ? Euclides muestra que el área del gnomon es igual al área de un rectángulo :

Si cada uno de los lados del rectángulo es un número cuadrado, entonces el área del rectángulo sera también un cuadrado, y de allí nacerá una terna pitagórica. Cuando el gnomon es ’’ancho’’ igual a la unidad, reobtenemos la construcción de Pitágoras. Pero la construcción de Euclides es más general. Por ejemplo, la terna (8,15,17), que se desprende de un cuadrado de lado 8 dentro de uno de lado 17, no se obtiene por el método de Pitágoras.

Sucede que casi todas [5] las ternas pitagóricas pueden ser obtenidas mediante el método de Euclides [6].

Quienes lo deseen pueden consultar los detalles de la prueba de Euclides en este bello sitio (en inglés), que contiene la integridad de los Elementos. La construcción de las ternas pitagóricas se encuentra aquí, y la transformación del gnomon en rectángulo aquí. La demostración de Euclides es de todo punto de vista notable : es uno de los primeros ejemplos del uso de la geometría en un problema puramente aritmético.

Señalemos también que uno de los fragmentos manuscritos más antiguos de los Elements de Euclides, un papiro hallado hacia fines del Siglo 19 en Oxyrhynque, cerca del Nilo [7], contiene una figura que ilustra la equivalencia entre el gnomon y un rectángulo :

Para terminar esta parte, no puedo dejar de mencionar la famosa tableta ’’Plimpton 322’’, escrita en cuneiforme y datada de alrededor del año 1800 a.C. Descubierta a principios del Siglo 20 en la antigua ciudad de Larsa de Mesopotamia (sur del Irak actual),esta tableta presenta una lista de números que permiten reconstruir 15 ternas pitagóricas, siendo la mayor de entre ellas
(12709,13500,18541) :

De acuerdo a los especialistas [8], esta tableta no constituye un cálculo intencionado de ternas pitagóricas, sino que sería más bien un documento sobre la resolución de ecuaciones de segundo grado [9]. Haya tenido o no conciencia el autor de ’’Plimpton 322’’ de las ternas pitagóricas que estaba construyendo, uno no puede dejar de emocionarse frente a este documento matemático que data de más de 3500 años.

Números primos y sumas de cuadrados

Consideremos ahora una variación de la construcción de Euclides :

Notemos que en esta figura, el área de la región azul es aún la diferencia entre dos cuadrados. Denotemos $L$ y $\ell$ respectivamente el largo y el ancho de uno de los rectángulos azules. Entonces el área $A$ de la región azul es igual a $A=4L \ell$. Si $L$ y $\ell$ son cuadrados perfectos, entonces $A$ también lo será. En este caso, tendremos un entero cuadrado $A$ que es diferencia de dos cuadrados, y por tanto obtendremos una terna pitagórica. Una vez más, este procedimiento nos da una infinidad de ternas, ya que se puede elegir para $L$ y $\ell$ cuadrados perfectos arbitrarios. Otra observación importante es que para toda terna pitagórica $(a,b,c)$ construida de esta forma, el entero $c$ es suma de dos cuadrados. En efecto, $c$ es el lado del cuadrado grande de la figura, por lo que $c=L+\ell$, y por construcción $L$ y $\ell$ son cuadrados cada uno.

Hagamos ahora la lista de todas las ternas pitagóricas $(a,b,c)$ obtenidas por este método, con $c \leq 100$. Clasifiquémoslas por orden creciente de valores de $c$. Para simplificar, retenemos solamente las ternas primitivas (ver la nota [5]) para las cuales $a \leq b$ (se puede siempre intercambiar $a$ y $b$ de modo de que esta condición se cumpla). Se obtiene así 16 ternas :

$a$ $b$ $c$
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29
12 35 37
9 40 41
28 45 53
11 60 61
16 63 65
33 56 65
48 55 73
13 84 85
36 77 85
39 80 89
65 72 97

¿ Tiene propiedades interesantes este tablero ? Concentrémonos en los valores de $c$. Con un poco de atención, notamos que :

  1. El entero $c$ es siempre impar. De hecho, su residuo al ser dividido por 4 es siempre 1.
  2. El entero $c$ es a veces primo (es decir, divisible solo por sí mismo y por 1).
  3. Cuando $c$ no es primo, sus divisores primos dejan también residuo 1 al ser divididos por 4.
  4. Ciertos valores de $c$ aparecen varias veces, como por ejemplo $c=65$ y $c=85$.

¿ Qué ocurre con las ternas pitagóricas más grandes ? Sucede que las propiedades 1 y 3 son válidas para todas las ternas pitagóricas primitivas. La demostración de la propiedad 1 es dada más abajo. La propiedad 3 es más difícil de establecer, pero ella juega un rol capital en esta historia.

Demostración de la primera propiedad

Denotemos $L=m^2$ y $\ell=n^2$ el largo y el ancho del rectángulo azul usado para obtener la terna pitagórica primitiva $(a,b,c)$. Por construcción, tenemos $c=L+\ell =m^2+n^2$. Se tiene también $a=L-\ell =m^2-n^2$. Además, $A=4L\ell =4m^2 n^2 = (2mn)^2$, por lo que $b=2mn$. Si $m$ y $n$ son pares, entonces $a$, $b$ y $c$ también lo son, lo cual es imposible puesto que hemos supuesto que la terna es primitiva. Se verifica igualmente que si $m$ y $n$ son impares, entonces $a$, $b$ y $c$ son pares, de donde
surge nuevamente una contradicción. Los enteros $m$ y $n$ son, por lo tanto,
de distinta paridad. Supongamos por ejemplo que $m$ es par y $n$ impar. Podemos escribir $m=2u$ y $n=2v+1$, con $u$ y $v$ enteros. Deducimos entonces que $c=m^2+n^2=(2u)^2+(2v+1)^2=4u^2+4v^2+4v+1=4(u^2+v^2+v)+1$. El residuo de $c$ al ser dividido por 4 es por tanto igual a 1. El razonamiento es análogo cuando $m$ es impar y $n$ es par.

Entre los valores de $c$ en el tablero de arriba se encuentran de hecho todos los números primos inferiores a 100 que dejan residuo 1 al ser divididos por 4. Por otra parte, como lo acabamos de explicar, todos los enteros $c$ obtenidos son sumas de dos cuadrados (¡ los incrédulos pueden verificarlo a la mano para los valores del tablero !). Una pregunta surge naturalmente :

¿ Puede todo número primo que deja residuo 1 al dividirse por 4 ser representado como la suma de dos cuadrados perfectos ?

Esta pregunta jugó un rol importantísimo en el desarrollo de la teoría de números. Albert Girard (1595-1632) parece haber sido el primer matemático que enunció que todo número primo de la forma $4k+1$ es suma de dos cuadrados, Sin embargo, no dio prueba alguna. En una carta a Marin Mersenne que data del 25 de diciembre de 1640, Pierre de Fermat anuncia haber probado el resultado. Lamentablemente, no disponemos de los detalles de su prueba, ni la certeza de que haya sido completa. Para resolver este problema, Fermat inventó un nuevo método, que explica en una carta a Pierre de Carcavi en agosto de 1659 :

Por los métodos ordinarios que están en los libros eran insuficientes para probar afirmaciones tan difíciles como esta, pero yo encontré al fin una ruta singular para lograrlo.

Llamo a esta forma de demostrar el descenso infinito o indefinido (...).

Estuve mucho tiempo sin poder aplicar mi método a problemas afirmativos, puesto que el camino para lograrlo es mucho más sinuoso que aquel que necesito para afirmaciones negativas. De esta forma, cuando quise probar que todo número primo que rebasa en una unidad a un múltiplo de 4 se compone de dos cuadrados, me hallaba en una situación penosa. Sin embargo, una meditación reiterada numerosas veces me dio las luces que me faltaban, y las afirmaciones positivas lograron al fin filtrarse en mi método gracias a nuevos principios que fue necesario incluir por necesidad. Este progreso de mi razonamiento sobre las afirmaciones positivas es este : si un número primo escogido arbitrariamente y rebasa de 1 a un múltiplo de 4 no se compone de dos cuadrados, habrá otro número primo con las mismas propiedades pero menor al dado, y luego un tercero, etc. Descendemos así al infinito, hasta que llegamos al número 5, que es el menor número de esta naturaleza, del cual se seguirá entonces no poder ser escrito como composición de dos cuadrados, lo cual sin embargo es el caso. De esto se debe inferir que todos los números de esta naturaleza se componen de dos cuadrados.

Como vemos, Fermat da muy pocos detalles... Fue el matemático suizo Leonhard Euler quien dio la primera prueba completa del teorema, en 1749. Su demostración se basa efectivamente en un método de descenso. En el lenguaje de ternas pitagóricas, la prueba puede ser presentada de la manera siguiente. Sea $p$ un número primo de la forma $4k+1$.

  • Comenzamos por mostrar que existe una terna pitagórica primitiva $(a,b,c)$ tal que $c$ es divisible por $p$.
  • Mostramos que si $(a,b,c)$ es una terna pitagórica primitiva, no solo $c$ es suma de dos cuadrados, sino que todo divisor de $c$ es suma de dos cuadrados.

Estos dos puntos en conjunto implican que $p$ es suma de dos cuadrados. Es en la segunda etapa donde interviene el argumento de descenso. Razonamos por el absurdo y suponemos que existe una terna pitagórica primitiva $(a,b,c)$ tal que $c$ posee un divisor $d$ que no es suma de dos cuadrados. Construimos entonces una terna $(a',b',c')$ con la misma propiedad y que es menor a la precedente, es decir, tal que $c' c' > c'' > \ldots$, ¡ lo cual es imposible !

El teorema de la suma de dos cuadrados dio lugar a numerosas generalizaciones interesantes. Joseph-Louis Lagrange probó en 1770 que todo entero es la suma de cuatro cuadrados. Fermat había avanzado que todo número entero es suma de tres números triangulares [10]. No fue sino a fines del Siglo 18
que la afirmación de Fermat fue probada por Carl Friedrich Gauss. De hecho, el 10 de julio de 1796, cuando aún no tenía 20 años, Gauss escribió con entusiasmo en su diario matemático :

EURÊKA ! NUM = ∆ + ∆ + ∆

Debemos enfatizar que estos resultados son difíciles, en el sentido de que la descomposición obtenida no viene dada ’’por una fórmula’’. Los resultados de Euler, Lagrange y Gauss establecen la existencia de una descomposición, pero no dicen nada sobre cómo hallarla...

Muchos problemas sobre los números enteros permanecen sin solución hasta nuestros días (¡ en matemáticas nunca nos quedamos cortos en problemas !). Por ejemplo, ¿ existe una infinidad de primos de la forma $n^2+1$ ? Esta pregunta forma parte de los cuatro problemas de Landau. Se piensa que la respuesta es afirmativa, pero no se dispone de una prueba rigurosa. Sin embargo, es posible probar el resultado más débil siguiente :

Teorema. Para todo número real $A$ arbitrariamente grande, existe una infinidad de números primos $p$ de la forma $m^2+n^2$, donde los enteros $m$ y $n$ satisfacen $\frac{m}{n} \geq A$.

Este resultado es un caso particular de un teorema probado en 1920 por el matemático Erich Hecke usando la sofisticada teoría de las funciones L...

Un juego geométrico

Le propongo ahora un pequeño puzzle geométrico, tomado del libro Los juegos matemáticos de Michel Criton [11]. Tome una hoja de papel y trace en ella un cuadrado. ¿ Puede descomponer ese cuadrado en pedazos y juntarlos de modo de formar 5 cuadrados idénticos, sin dejar ningún pedazo faltante ? Obtendrá la solución haciendo click en el bloque de abajo (si bien le aconsejo de buscar una solución primero).

Esta solución fue hallada por el matemático persa Abul Wafa al-Buzjani (940-998) en su Libro sobre las construcciones geométricas necesarias para el artesano. Reemplacemos ahora en el problema precedente el número 5 por otro entero : dado un entero $N$, ¿ es posible descomponer un cuadrado en $N$ cuadrados iguales ?

Uno de los puntos claves de la solución precedente es que el número 5 es suma de dos cuadrados : $5 = 2^2+1^2$. Mostremos que si $N$ es suma de dos cuadrados, la construcción precedente se generaliza. Hagamos $N=a^2+b^2$, con $a \geq b$. Dividamos cada lado del lado del cuadrado $ABCD$ inicial en $a$ segmentos iguales (para visualizar la construcción, haga click abajo). Imaginemos que cada segmento pequeño sea de longitud 1. El cuadrado $ABCD$ tiene por tanto lado $a$. Comenzamos por marcar el punto $M$ sobre el segmento $AB$ para el cual $AM=b$ y $MB=a-b$. Después unimos dicho punto $M$ al punto $D$. Trazamos luego todas las paralelas de los lados $[AB]$ y $[CD]$. En fin, trazamos todas las perpendiculares a la recta
$MD$ que pasan por puntos de división de los lados $BC$ y $AD$. Solo resta tomar las tijeras y juntar los fragmentos como en el caso $N=5$, y nuestra descomposición queda concluida.

Explicación en imágenes

En la figura de abajo, tomamos $N=13$. Tenemos $N=3^2+2^2$, por lo que $a=3$ y $b=2$.

Demostración de que se obtienen exactamente $N$ cuadrados pequeños.

Retomemos la construcción en la etapa en que se construyen las paralelas a la recta $MD$ :

Denotemos $x$ la longitud del lado de los cuadrados pequeños obtenidos. Esta corresponde a la longitud de la banda de la figura de abajo. El teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo $AMD$ nos da $MD^2 = AM^2+AD^2 = b^2+a^2=N$. Denotemos $E$ el punto del segmento $CD$ tal que $DE=1$, y $H$ el punto del segmento $MD$ tal que el triángulo $HDE$ es rectángulo en $H$. Como los ángulos de los triángulos $AMD$ y $HDE$ son iguales de a pares, dichos triángulos son semejantes. Se deduce entonces la igualdad de razones $\frac{AD}{MD} = \frac{HE}{DE}$, es decir, $\frac{a}{MD} = \frac{x}{1}$, o aún mejor $a=MD \cdot x$. Elevando al cuadrado se obtiene $a^2=MD^2 \cdot x^2 = N \cdot x^2$. Dicho de otro modo, el área del cuadrado más grande es igual a $N$ veces el área del cuadrado pequeño. Por lo tanto, hay $N$ cuadrados pequeños.

Para un entero $N$ cualquiera, se sabe que un corte del cuadrado en $N$ cuadrados iguales existe. Esto es una consecuencia del teorema de Bolyai-Gerwien-Wallace, el cual afirma que dados dos polígonos de igual área, siempre es posible pasar de uno al otro por corte y rensamble [12]. Sin embargo, el corte dado por ese teorema es en general muy complicado. En el caso $N=3$ (para el cual el método precedente no se aplica, pues 3 no es suma de dos cuadrados), Abul Wafa dio también una solución [13]. No conozco ninguna solución simple para el caso $N=7$ : ¿ cuál es el número mínimo de piezas necesarias para un corte de este tipo ?

Uno puede entretenerse inventando y resolviendo numerosos otros problemas de corte geométricos. Algunos teoremas célebres pueden de hecho ser demostrados con la ayuda de cortes astutos. Por ejemplo, he aquí una prueba del teorema de Pitágoras (source : Wikimédia) :

Se puede consultar el artículo de Daniel Perrin mencionado en la nota [12] para muchos otros ejemplos de corte.

¿ Sobre qué se investiga en teoría de números hoy en día ?

Nuestro entendimiento de los números enteros es aún modesto. Para tratar de convencerlos, he aquí un ejemplo de una pregunta sobre los números primos aún no resuelta. Vimos arriba qué números primos son suma de dos cuadrados. Cambiemos ahora ligeramente la pregunta : ¿ qué números primos son suma de dos cubos ? [14] Se podría pensar que este problema es similar al precedente, ¡ pero es muchísimo más complicado ! Antes debíamos lidear con la ecuación $x^2+y^2=p$, que es la ecuación de una circunferencia y cuyas soluciones son bien entendidas. Ahora debemos resolver la ecuación $x^3+y^3=p$, que es la ecuación de una curva elíptica.

Las curvas elípticas son objetos que se sitúan entre la geometría y la aritmética, cuya belleza fascina a los matemáticos. Determinar si la ecuación de una curva elíptica admite o no una infinidad de soluciones es el tema de una conjetura célebre, formulada en los años 1960 por los matemáticos británicos Bryan Birch y Sir Peter Swinnerton-Dyer. Se dispone de resultados parciales sobre esta conjetura, pero todos los especialistas están de acuerdo en que se necesitan ideas novedosas para atacar el caso general. En lo que respecta a la ecuación $x^3+y^3=p$, se puede probar que cuando $p=3$ o cuando $p$ es impar y de la forma $9k+2$ o $9k+5$,la ecuación no posee solución, y por tanto $p$ no es suma de dos cubos. Noam Elkies mostró también que si $p$ es de la forma $9k+4$ o $9k+7$, la ecuación posee una infinidad de soluciones, por lo que $p$ es suma de dos cubos de infinidad de formas diferentes. Los dos casos que quedan, a saber, $p=9k+1$ y $p=9k+8$, no han sido aún completamente resueltos [15].

Un avance formidable en la comprensión de las curvas elípticas fue alcanzado en los años 1990 por Andrew Wiles, quien demostró que toda curva elíptica es modular. Tratemos de explicar rápidamente qué significa esto. Para cada número primo $\ell$, se puede considerar las soluciones ’’módulo $\ell$’’ de la ecuación de la curva elíptica [16]. Se obtiene un número finito de soluciones, que denotamos $N(\ell)$. Cuando $\ell$ varía, los números $N(\ell)$ no tienen a priori ninguna relación entre ellos. El teorema sorprendente demostrado por Wiles señala que es posible codificar todos esos números $N(\ell)$ en una función que posee una cantidad increíble de simetrías. La modularidad de la curva elíptica se refiere entonces no a la aritmética modular, sino que a esas simetrías escondidas, y la función que codifica los números $N(\ell)$ es una forma modular. Una área de investigación actualmente muy activa consiste en extender el teorema de modalidad de Wiles a objetos más generales que las curvas elípticas.

Conclusión

Hemos podido dar aquí tan solo un pequeño vistazo de algunas de las propiedades de los cuadrados perfectos. De hecho, ¡ la mayor parte de las propiedades de dichos números están aún por ser descubiertas ! Hemos visto en los ejemplos cómo consideraciones geométricas simples ayudan a resolver algunas preguntas puramente aritméticas. He allí un fenómeno general de las matemáticas : a menudo es necesario abordar un problema diversificando las aproximaciones y los puntos de vista. Muchas ideas nuevas y fecundas surgen o se desarrollan al cruzarse dominios diferentes de la matemática. En este sentido, los lazos entre la aritmética y la geometría son particularmente fructíferos.

Post-scriptum :

La redacción de Paisajes Matemáticos, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a Jacques Lafontaine, Sylvia, Laurent Bétermin y Sylvain Barré. El autor agradece igualmente a Étienne Ghys por sus estímulos y consejos a lo largo de la redacción de este artículo.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Al parecer, la terminología ’’cuadrado perfecto’’ se explica también por su etimología. En el Siglo 18, un rectángulo también era llamado ’’cuadrado largo’’ (ver la Encyclopédie de Diderot y d’Alemberten el artículo ’’rectangle’’). Así, la Maison Carrée de Nîmes es de forma... rectangular. Ver también el diccionario de la Academia Francesa (4a edición, 1764) en el artículo Carré.

[2Para esto es necesario introducir una línea extra en el tablero, es decir, calcular diferencias de diferencias... Dejamos al lector interesado la tarea de construir este tablero.

[FeyR. Feynman, Cours de physique, Mécanique tome 1, Dunod, 1999, capítulo 9, § 9.6 et 9.7.

[CiaP. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation, Dunod, 1998, capítulo 3.

[3De acuerdo a Proclus, en sus Comentarios sobre el primer libro de los Elementos de Euclides.

[4Ver el artículo sobre Euclides escrito por Fabio Acerbi.

[5De manera más precisa, se obtiene al menos todas las ternas pitagóricas $(a,b,c)$ tales que $a$, $b$ y $c$ no poseen divisor común distinto a 1. Tales ternas son dichas primitivas. Se prueba que toda terna pitagórica se escribe de manera única de la forma $(ka,kb,kc)$, donde $(a,b,c)$ es una terna pitagórica primitiva y $k$ es un entero mayor o igual que 1.

[6Se ignora si Euclides sabía esto.

[7Que data de 75 a 125 d.C., según el papirólogo Eric Turner.

[8A este respecto, ver el arículo de Eleanor Robson, Words and Pictures : New Light on Plimpton 322, American Mathematical Monthly, vol. 109, no 2, 2002, pp. 105–120.

[9De manera más precisa, trataría sobre ecuaciones del tipo $x-\frac{1}{x}=c$.

[10Los amantes de las viejas películas hallarán alegría en cette page de la revista Mathématiques et sciences humaines, ya mencionada en ce billet d’Étienne Ghys. Allí puede hallarse en libre acceso varias películas destinadas a un público amplio, una de las cuales explica los cuadrados y otra los números triangulares.

[11M. Criton, Les jeux mathématiques, Que sais-je ? n°3220, segunda edición corregida, 1998, p. 79.

[12Ver este artículo de Michèle Audin y este artículo de Daniel Perrin en este mismo sitio.

[13Ver el artículo Aires et volumes : découpage et recollement (I), figure 18a.

[14Para que la pregunta sea interesante, nos concentramos en cubos de números racionales, y autorizamos los negativos.
Recordemos que un número racional es un número (positivo o negativo) de la forma $\frac{a}{b}$, con $a,b$ enteros relativos y $b \neq 0$.

[15De manera más precisa, si se asume como verdadera (una parte de) la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, se sabe probar que todo número primo $p$ de la forma $9k+8$ es suma de dos cubos. En el caso $p=9k+1$, que es el más difícil, Fernando Rodriguez-Villegas y Don Zagier dieron un criterio (el cual depende también de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer) para que $p$ sea suma de dos cubos.

[16Nos ponemos en el sistema finito de números ’’módulo $\ell$’’ (llamado también ’’aritmética del reloj’’), donde dos números enteros son identificados cada vez que su diferencia sea un múltiplo de $\ell$. Las ’’soluciones módulo $\ell$’’ son entonces los números $x$ e $y$ que pertenecen a ese sistema finito y que verifican la ecuación de la curva elíptica.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Algunas propiedades de los cuadrados perfectos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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