Algunos días en las Cevenas

Una propiedad notable

Le 10 décembre 2009  - Ecrit par  Aurélien Alvarez
Le 20 novembre 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier
Article original : Quelques jours dans les Cévennes Voir les commentaires
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En los últimos años han surgido muchos trabajos en torno a sistemas dinámicos medibles, teoría de grupos medibles y álgebras de von Neumann. Este progreso es el resultado de muchas interacciones entre estos temas y es en este espíritu que nació AGORA, un proyecto financiado por la Agencia Nacional de la Investigación (ANR) que reúne a matemáticos europeos particularmente interesados ​​en estos desarrollos y los acoplamientos con la teoría geométrica de grupos, la topología, la teoría de la representaciones, los grafos aleatorios, la teoría descriptiva de conjuntos, etc, por nombrar algunas línea de investigacións. No te preocupes demasiado si todos estos términos matemáticos no te dicen nada o incluso te parecen un poco bárbaros... Habrá más en los siguientes párrafos y no es lo importante ; solo me gustaría en esta publicación dar una idea de una propiedad muy interesante y las matemáticas que la acompañan.

De hecho, AGORA es un acrónimo para ’’Acciones’’, ’’Grupos’’, ’’Operadores’’ y ’’Álgebras’’, y y para nuestro primer encuentro, optamos por retirarnos cuatro días de este mes de noviembre en las Cevenas [1].

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Decir que nos hemos retirado del mundo no es una exageración : no hay red de telefonía celular y la conexión a Internet es mala... Dicho esto, lo más importante es que recibimos una cálida bienvenida y no puedo sino recomendar la Maison Clément para las próximas vacaciones. Esto sin mencionar que, para nuestra visita, ¡hay una pizarra para trabajar ! En el programa, tres mini-cursos, un hilo conductor, la propiedad (T), ¡y una audiencia apasionada !

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La historia comienza con un artículo visionario [2] de David Kazhdan. En este artículo de tres páginas, Kazhdan presenta una propiedad asombrosa, demuestra que ciertos grupos familiares tienen esta propiedad y deduce un corolario notable de ella. Cuarenta años después, se ha vuelto difícil enumerar todas las consecuencias que se pueden deducir de esta propiedad.

De acuerdo, pero ¿qué es esta propiedad ? No es fácil de explicar... Comencemos con cosas simples. Dado un grupo contable $G$, digamos por ejemplo $ \mathbf{Z} $ (los enteros) o $SL _3 (\mathbf{Z}) $ (las transformaciones lineales enteras del determinante $ 1 $), nos interesan sus representaciones ortogonales. No es necesario saber exactamente qué es esto ; recordemos solo dos cosas sobre el conjunto de todas las representaciones ortogonales de $G$ :

  • una de ellas es un poco especial pues no es absolutamente interesante : es la representación trivial ;
  • se puede dar sentido a decir que dos representaciones ortogonales son más o menos próximas una de la otra

Con esto en mente, imaginemos por un momento que la representación trivial no se acerca a ninguna otra representación ortogonal : está en el medio, sola, aislada. Bueno, cuando esto ocurre merece un nombre, y Kazhdan declara que el grupo $ G $ tiene la propiedad (T). ¿Por qué (T) ? La ’’T’’ es simplemente la ’’t’’ de (la representación) trivial, y los paréntesis están para recordarnos que está aislada... Notación inteligente, ¿no ?

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Un ejemplo fundamental de un grupo contable con la propiedad (T) es ciertamente SL$_3(\mathbf{Z})$ ; probar esto es difícil (¡Kazhdan lo demuestra en sus 3 páginas !). También están los grupos finitos, que siempre tienen la propiedad (T) ; sin embargo, esto es un ejemplo trivial que de deduce directamente de la definición. ¿Un prototipo de contra-ejemplo ? El grupo $\mathbf{Z}$, que posee una propiedad muy importante que es, en cierto sentido, lo contrario a la propiedad (T) : se trata de la promediabilidad [3].

Digamos algunas palabras sobre el notable corolario que Kazhdan deduce de su propiedad (T) y que mencioné un poco más arriba. Pero primero, un pequeño recorrido por los números naturales. Entre ellos, algunos están a menudo en el centro de atención : los números primos. Esto debido a que el teorema fundamental de la aritmética dice esencialmente que todo número natural es producto de números primos. Por ejemplo, $825 = 3 \times 5^2 \times 11$. Como resultado, muy a menudo, los números primos son calificados como ’’ladrillos elementales’’, un poco como las partículas elementales de los físicos. Bueno, es un poco esta idea la que encontramos para un grupo $G$ que tiene la propiedad (T) : existe un conjunto finito de ladrillos elementales en $G$, es decir, podemos encontrar $n$ elementos $ g_1, \ldots, g_n $ en $ G $ tales que que cualquier otro elemento puede recomponerse a partir de estos [4]. Decimos que dicho grupo es de tipo finito y, por supuesto, esta es información muy útil en general. ¡No sorprenderé a nadie diciendo que la geometría de los grupos de tipo finito es una página de matemáticas absolutamente fascinante y muy rica !

Y es allí donde Kazhdan es muy fuerte : de repente, deduce esta propiedad de tipo finito no para un solo grupo sino para una clase muy grande de grupos que llamamos redes. Por supuesto, deberíamos dar una definición precisa de red, pero digamos que la idea intuitiva que podemos tener de una red es generalmente una muy buena imagen. Además, $ \mathbf{Z}^2 $ es de hecho una red en el plano, ¡incluso en el sentido de los matemáticos !

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Después de todas estas emociones se hizo necesario un poco de aire fresco ; como la región es magnífica, fue un gran placer continuar nuestras discusiones caminando los senderos... Al menos los más valientes así lo hicieron...

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Quisiera explicar aquí un teorema sorprendente y muy bello debido a Andrés Navas [5].

Teorema [Navas]
Sea $G$ un subgrupo contable del grupo $Diff(\mathbf{S}^1)$ de los difeomorfismos suaves de la circunferencia. Si $G$ tiene la propiedad (T), entonces $G$ es finito.

La circunferencia $\mathbf{S}^1$ es un objeto central en matemáticas. Incluso si no es tan fácil de demostrar, la línea real $ \mathbf{R} $ y la circunferencia $ \mathbf {S}^1 $ son los únicos objetos geométricos (más precisamente hablamos de variedades) de dimensión 1, lo que explica por qué los encontramos con tanta frecuencia. Nos interesarán las aplicaciones biyectivas de la circunferencia y, en particular, las que son continuamente diferenciables dos veces, así como sus inversas. Esto es lo que yo llamo difeomorfismos suaves de la circunferencia [6]. Por supuesto, si compusimos dos difeomorfismos suaves, todavía obtenemos un difeomorfismo suave, ya que es bien sabido que la combinación de dos aplicaciones continuas (resp. derivables) sigue siendo continua (resp. derivable). Tenemos entonces en nuestras manos el grupo $Diff(\mathbf{S}^1) $ y nos gustaría entender un poco mejor este grupo ’’bastante grande’’. ¿Ejemplos de difeomorfismos suaves ? Bueno, las rotaciones, por supuesto, que forman un subgrupo de $Diff(\mathbf{S}^1)$. Además, este subgrupo de rotaciones contiene subgrupos ’’más pequeños’’. Por ejemplo, si consideramos una rotación de ángulo $ \pi $, genera un subgrupo que contiene solo dos elementos : esta rotación y la identidad. De manera más general, si tomamos una rotación de ángulo $ 2 \pi / n $ ($ n \in \mathbf {N}^{\star} $), esto genera un subgrupo que contiene exactamente $ n $ elementos. En definitiva, todo eso para decir que es muy fácil encontrar subgrupos finitos. ¿Y subgrupos contables ? Sí, hay muchos, por ejemplo el subgrupo generado por una rotación de ángulo $ 2 \pi \alpha $, donde $ \alpha $ es un número irracional : este subgrupo es de hecho isomorfo a $ \mathbf{Z}$. Pero como escribí anteriormente, este grupo $Diff(\mathbf {S}^1) $ es muy grande y contiene mucho más que rotaciones y muchos subgrupos contables infinitos.

Volvamos a nuestro teorema y nuestra propiedad preferida. ¿Qué dice el teorema ? Simplemente, ¡ningún subgrupo contable $ G $ de $Diff(\mathbf{S}^1) $ tiene la propiedad (T) ! A menos que, por supuesto, $G$ sea finito. Pero como decíamos, los grupos finitos no son grupos muy interesantes desde el punto de vista de la propiedad (T).

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  • ¿Por qué este teorema es sorprendente ? Porque $Diff(\mathbf{S}^1)$ es realmente un grupo inmenso y hay muchísimos grupos con la propiedad (T) hoy.
  • ¿Por qué este teorema es hermoso ? Porque su enunciado es simple y dice algo profundo acerca de un objeto muy natural : el grupo de los difeomorfismos de la circunferencia.

Este primer encuentro fue todo un éxito ; al final entendimos muchas cosas. ¿Gracias a quién ? A nuestros ponentes, por supuesto, que hicieron grandes presentaciones, pero no solamente gracias a ellos, porque los desafortunados fueron interrumpidos constantemente y se hicieron cientos de preguntas. Estos debates / discusiones son muy ricos y muy estimulantes : cuando alguien entiende un pequeño truco, se lo explica a todos y muy a menudo esto permite enfocarnos en las dificultades que podríamos haber pasado por alto solos en una oficina.

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Notes

[1De paso, quisiera agradecer a todos quienes gentilmente aceptaron aparecer en las fotografías de esta Nota.

[2D. Kazhdan — Connection of the dual space of a group with the structure of its closed subgroups, Func. Anal. Appl. 1 (1967), 63-65.

[3Propiedad ya evocada en esta nota.

[4Sin embargo, hay dos diferencias importantes que deben tenerse en cuenta. El conjunto de números primos es infinito, este es el teorema de Euclides : debemos trabajar con un conjunto infinito de ladrillos elementales para enteros naturales ; mientras tanto, el punto crucial para grupos con la propiedad (T) es que un conjunto finito de ladrillos elementales es suficiente. La otra diferencia es que hay unicidad de la factorización de números primos (salvo cambios de orden), mientras que este no es en absoluto el caso para nuestros grupos. Además, tampoco hay unicidad del conjunto finito de ladrillos elementales. Todo esto no es muy grave ya que el punto crucial es saber que podemos encontrar en nuestro grupo un conjunto finito de ladrillos elementales.

[5A. Navas — Actions de groupes de Kazhdan sur le cercle, Ann. Sci. École Norm. Sup. 35 (2002), 749-758.

[6En general, reservamos el calificativo suave para difeomorfismos infinitamente diferenciables.

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Pour citer cet article :

Jimena Royo-Letelier — «Algunos días en las Cevenas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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