Enoncé

La réponse est $8$.

On sait que

$n^{1005}+20 = (n^{1005}-1)+21$

$ = [(n^3)^{335}-1]+21$

$ = (n^3-1)[(n^3)^{334}+(n^3)^{333}+\cdots + n^3 + 1] + 21.$

Or $n^3-1=(n^2+n+1)(n-1)$, donc $n^2+n+1$ divise $n^3-1$. Ainsi $n^2+n+1$ divisera $n^{1005}+20$ si $n^2+n+1$ divise $21$. Comme $n^2+n+1>0$ pour tout entier $n$, il suffit de considérer les diviseurs positifs de $21$ : $1$, $3$, $7$ et $21$. En résolvant les équations

$n^2+n+1 = 1$

$n^2+n+1 = 3$

$n^2+n+1 = 7$

$n^2+n+1 = 21,$

on obtient les $8$ solutions $n=0$, $-1$, $1$, $-2$, $2$, $-3$, $4$ et $-5$.