Un défi par semaine

Août 2014, 1er défi

Le 1er août 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Trouver tous les nombres premiers $p$, $q$, $r$ tels que $\frac{p}{q}- \frac{4}{r+1}=1$.

Solution du 4ème défi de Juillet

Enoncé

La réponse est $8$.

On sait que

$n^{1005}+20 = (n^{1005}-1)+21$

$ = [(n^3)^{335}-1]+21$

$ = (n^3-1)[(n^3)^{334}+(n^3)^{333}+\cdots + n^3 + 1] + 21.$

Or $n^3-1=(n^2+n+1)(n-1)$, donc $n^2+n+1$ divise $n^3-1$. Ainsi $n^2+n+1$ divisera $n^{1005}+20$ si $n^2+n+1$ divise $21$. Comme $n^2+n+1>0$ pour tout entier $n$, il suffit de considérer les diviseurs positifs de $21$ : $1$, $3$, $7$ et $21$. En résolvant les équations

$n^2+n+1 = 1$

$n^2+n+1 = 3$

$n^2+n+1 = 7$

$n^2+n+1 = 21,$

on obtient les $8$ solutions $n=0$, $-1$, $1$, $-2$, $2$, $-3$, $4$ et $-5$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2014, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La quartique de Klein, par Jos Leys

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  • Août, 1er défi

    le 3 août 2014 à 19:25, par Daniate

    Il existe deux autres solutions, et aucune autre :

    p=7, q=3, r=2

    p=5, q=3, r=5

    L’égalité se transforme en p/q=(r+5)/(r+1). p/q étant irréductible il existe un naturel n tel que r+5=np et r+1=nq. Par soustraction il vient n(p-q)=4.

    Soit n=4 et p-q=1 et seul p=3 q=2 r=7 convient

    Soit n=2 et p-q=2 avec r=2q-1. p et q sont des premiers jumeaux, or, mis à part 5 et 3, q sera de la forme 6k-1 et r sera multiple de 3 donc une seule possibilité p=5, q=3, r=5

    Soit n=1 et p-q=4 avec r=q-1 seuls 2 et 3 sont premiers consécutifs donc p=7, q=3, r=2

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