Commentaire sur l'article

• Août 2016, 1er défi

  le 5 août 2016 à 08:09, par Al_louarn

  $x=0$ est l’unique solution.

  Si $\lfloor x\rfloor = 0$ ou $\{x\}=0$ alors $\lfloor x\rfloor \{x\} = 0$ et donc $x=0$.

  Sinon :
  D’une part $\lfloor x\rfloor > 0 $ donc $\lfloor x\rfloor \geq 1$. Alors partant de $\{x\} < 1$, en multipliant par $\lfloor x\rfloor$ nous obtenons $\lfloor x\rfloor \{x\} < \lfloor x\rfloor$.
  D’autre part $\{x\} > 0$ donc en ajoutant $\lfloor x\rfloor$ nous obtenons $\lfloor x\rfloor < \lfloor x\rfloor + \{x\}$, c’est-à-dire $\lfloor x\rfloor < x$.
  Finalement par transitivité nous obtenons $\lfloor x\rfloor \{x\} < x$ donc il n’y a pas d’autre solution.

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• Août 2016, 1er défi

  le 6 août 2016 à 14:45, par FDesnoyer

  $[x]\times\{x\}=0$ donc $x=0$ ? je ne crois pas avoir compris votre argument

  En revanche, votre idée me semble bonne et $x=0$ serait la seule solution.

  Cordialement,

  F.D.

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• Août 2016, 1er défi

  le 7 août 2016 à 09:48, par orion8

  Lisez bien l’énoncé ! (pour lesquels...)

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• Août 2016, 1er défi

  le 7 août 2016 à 19:01, par FDesnoyer

  Bonjour,

  « résoudre une équation consiste à tourver TOUTES LES VALEURS de l’inconnue qui satisfont l’équation ».

  Le pluriel dans l’énoncé ne m’incite, donc, pas à chercher d’autres solutions,

  (toutefois je commence à entrevoir une démonstration de $S=\{0\}$ car vous m’avez amené à reprendre le problème dans ma tête, merci !!!)

  bien amicalement,

  F.D.

  PS : il est vrai que la lecture détaillée des énoncés est, définitivement, mon point faible ! ;-)

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• Août 2016, 1er défi

  le 8 août 2016 à 10:49, par Al_louarn

  Simple transitivité de l’égalité : le seul réel $x$ tel que $\lfloor x\rfloor \times \{x\} = 0$ et $\lfloor x\rfloor \times \{x\} = x$ est forcément $x=0$.

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• A propos du défi précédent

  le 5 août 2016 à 08:20, par Al_louarn

  L’énoncé exigeait que les nombres $a$,$b$,$c$,$d$ soient positifs, ce qui ne colle pas avec la solution donnée.

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• A propos du défi précédent

  le 5 août 2016 à 08:53, par Daniate

  Certes, je suis bien d’accord, et si pour ce défi on s’affranchit, comme pour le précédent, de la consigne positif il apparaît une infinité de solutions construites à partir de n’importe quel entier n strictement positif par x= 2-n +1/n : partie entière 1-n, partie décimale 1-1/n.

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• A propos du défi précédent

  le 5 août 2016 à 11:29, par Al_louarn

  Oui, à condition de prendre $n>2$, et de remplacer « partie entière » par « troncature », ce qui n’est pas la même chose pour les nombres négatifs.
  Ainsi $\lfloor -1,5 \rfloor = -2$ : comme indiqué dans l’énoncé $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
  La troncature consiste simplement à enlever les décimales.

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• A propos du défi précédent

  le 5 août 2016 à 16:32, par Daniate

  Bonjour,

  Tout d’abord avec n=1 on retrouve l’unique solution positive. Ensuite je persiste à dire que 1-n est le plus grand entier inférieur ou égal à x puisque x-(1-n)=1-1/n à l’évidence positif compris entre 0 (sens large) et 1 (sens strict). Pour n=2 on trouve x=2-2-1/2=-0,5 dont la partie entière est -1 et la partie décimale 0,5.

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• A propos du défi précédent

  le 5 août 2016 à 17:21, par Al_louarn

  J’ai compris la source de notre incompréhension ! Votre formule est en fait x = 2 - n - 1/n mais vous aviez écrit x = 2 - n + 1/n
  Dans ce cas tout s’éclaire et nous tombons d’accord :-)
  Amicalement

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• A propos du défi précédent

  le 5 août 2016 à 18:46, par ruello

  Effectivement, il s’agit des réels de la forme 2-n -1/n
  ou encore les solutions sont de la forme n²/(n-1)= n +n/(n-1) = n+1+1/(n-1) avec n entier relatif négatif ou nul.
  La partie entière est dans ce cas n .
  Cordialement.

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• Août 2016, 1er défi

  le 8 août 2016 à 23:55, par Yann

  Nous avons l’égalité suivante : (notez le changement de signe)
  y=x−⌊x⌋
  et cherchons tous les nombes x qui vérifient :
  ⌊x⌋×y=x.

  On injecte la seconde égalité dans la premiére :
  y=⌊x⌋×(y−1) on obtient donc ⌊x⌋=y/(y−1)
  or ⌊x⌋>0 et y<1sont des conditions du problème.

  La seule valeur de y/(y−1) qui est positive dans l’intervalle [0,1[ est lorsque y=0 .
  On obtient aussi ⌊x⌋=0/(0−1)=0
  Et enfin x=0

  Merci à image des maths !
  PS : Je ne sais pas comment faire de vraies balises de maths, quelqu’un pourrait m’aider ?

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• Août 2016, 1er défi

  le 12 décembre 2016 à 15:13, par asmama medo

  [x]*x=x → [x]*(x-[x]) = x
  Supposons x non nul →x-[x]= x/[x]
  Deux expressions égales, l’une est >= à 1 et l’autre <1
  Donc x = 0

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