Août 2016, 1er défi

Le 5 août 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 32 :

Étant donné un nombre réel $x$, on note $\lfloor x\rfloor$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, et $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la partie décimale de $x$. Trouver tous les nombres non négatifs $x$ pour lesquels $\lfloor x\rfloor\times \{x\}=x$.

Solution du 5e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $9$.

Les nombres $a, b, c$ et $d$ sont différents, donc $1-a$, $1-b$, $1-c$ et $1-d$ sont tous différents aussi. Comme la décomposition en facteurs premiers de $10$ est $2\times 5$, $10$ ne peut s’écrire comme le produit de $4$ entiers différents que si deux d’entre eux sont $1$ et $-1$. Les deux facteurs restants sont alors $-2$ et $5$ ou $2$ et $-5$.

Comme $a>b>c>d$ nous avons $1-a< 1-b<1-c<1-d$. D’où $1-b =-1$ et $1-c=1$, ce qui implique que $b=2$ et $c=0$. Nous avons alors deux cas à considérer. Dans le premier, $1-a=-2$ et $1-d=5$, d’où $a=3$ et $d=-4$.
Dans le second cas, $1-a=-5$ et $1-d=2$, d’où $a=6$ et $d=-1$.

La valeur de $a+b-c-d$ est donc égale à $3+2-0-(-4)=9$ dans le premier cas et à $6+2-0-(-1)=9$ dans le second cas. Donc, dans tous les cas, $a+b-c-d=9$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Août 2016, 1er défi

le 8 août 2016 à 10:49, par Al_louarn

Simple transitivité de l’égalité : le seul réel $x$ tel que $\lfloor x\rfloor \times \{x\} = 0$ et $\lfloor x\rfloor \times \{x\} = x$ est forcément $x=0$.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?