Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Août 2016, 4e défi

Le 26 août 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 35 :

Le dernier chiffre d’un nombre entier a été effacé, et la différence entre le nombre alors obtenu et le nombre de départ est $2016$. Trouver tous les nombres entiers satisfaisant cette condition.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $360$.

La somme des angles d’un polygone convexe à $n$ côtés est $180^{\circ}(n-2)$. Si l’un des angles mesure plus de $180^\circ$, le polygone ne peut pas être convexe, donc la mesure maximale entière d’un angle est $179^{\circ}$. Ainsi nous pouvons écrire l’inégalité $180(n-2) \leq 179n$, qui implique que $n \leq 360$.

Voyons si nous pouvons construire un polygone convexe avec $360$ côtés. Prenons sur un cercle 360 points tels que la distance entre deux points consécutifs soit toujours la même. Ces 360 points sont les sommets d’un polygone convexe à 360 côtés dont les angles mesurent

$\frac{180^\circ(360-2)}{360}=180^\circ -1^\circ=179^\circ.$

Par conséquent, le nombre maximal de côtés est bien 360.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Août 2016, 4e défi

le 26 août 2016 à 08:26, par Bernard Hanquez

Bonjour,

Par tâtonnement je trouve 2239 et 2240.
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Août 2016, 4e défi

le 26 août 2016 à 08:34, par Al_louarn

Oui et il n’y a pas d’autre solution.

On cherche les nombres de la forme $n=10a+b$ avec deux contraintes :
$10a + b - a=2016$, qu’on simplifie en $9a+b=2016$
$0 \leq b \leq 9$, qui donne $9a \leq 9a+b \leq 9a+9$
En combinant les contraintes on obtient :
$9a \leq 2016 \leq 9a+9$
$a \leq 224 \leq a+1$
$223 \leq a \leq 224$
Pour $a=223$ on obtient $b=9$, d’où $n=2239$.
Pour $a=224$ on obtient $b=0$, d’où $n=2240$.
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Août 2016, 4e défi

le 26 août 2016 à 08:53, par Clément

Très bonne démonstration.
Pour faire plus court on peut aussi partir de 9a+b=2016 et continuer à réduire :
9a = 2016 - b
a = 224 - b/9

Puis comme a doit être entier on a directement b = 0 ou b = 9, ce qui nous donne immédiatement les deux mêmes résultats sans passer par les inégalités.
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Août 2016, 4e défi

le 26 août 2016 à 10:01, par Al_louarn

Bien plus élégant ! Merci
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