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• Août 2017, 1er défi

  le 4 août 2017 à 09:27, par Al_louarn

  $x=10a+b$, avec $0 < a \leq 9$ et $0 \leq b \leq 9$.
  La contrainte s’écrit $10a + b - 10b - a=n^3$, soit $3 \times 3 \times (a-b)=n^3$.
  Comme $|a-b| \leq 9$, les seules solutions pour $a-b$ sont $-3, 0, 3$, d’où les trois cas suivants :

  i) $b=a+3$ et $a=b-3$, d’où $0 < a \leq 6$, ce qui donne $6-0=6$ solutions pour $x=10a + a + 3 = 11a + 3$ :
  $14$, $25$, ..., $58$, $69$.

  ii) $a=b$, d’où $0 < a \leq 9$, ce qui donne $9-0=9$ solutions pour $x=10a+a=11a$ :
  $11$, $22$, ..., $88$, $99$.

  iii) $b=a-3$ et $a=b+3$, d’où $3 \leq a \leq 9$ ce qui donne $9-3+1=7$ solutions pour $x=10a + a - 3=11a - 3$ :
  $30$, $41$, $52$, ..., $85$, $96$.

  Donc il y a $6+9+7=22$ valeurs possibles pour $x$.

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• Août 2017, 1er défi

  le 3 septembre 2017 à 19:33, par Papi JacK

  Pour ma part je trouve 24 solutions en comptant 00 et 03 soit :

  00 - 03 - 11 - 14 - 22 - 25 - 30 - 33 - 36 - 41 - 44 - 47 - 52 - 55 - 58 - 63 - 66 - 69 - 74 - 77 - 85 - 88 - 96 - 99

  Ce qui rejoint les 22 solutions proposées.

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• Août 2017, 1er défi

  le 4 août 2017 à 15:27, par tschmoderer

  Soit $y$ un nombre à deux chiffres, posons $z=y-x$ tel que le renversé de $z$ soit un cube. Notons $\bar{z}$ ce renversé.

  Si j’interprète bien l’énoncé le nombre obtenu $z$ est à deux chiffres, on a donc neuf possibilités pour $\bar{z}$ : $\bar{E}=\{-64,-27,-8,-1,0,1,8,27,46\}$ et donc 9 possibilités pour $z$, qui sont (en ordre croissant) : $E=\{-80,-72,-46,-10,0,10,46,72,80\}$.

  Si on suppose $x>0$, en notant $P(n)$ l’ensemble des $x$ tel que $ y < n $ et $z$ appartient à $E$. Alors on voit facilement que :

  • $P(-80)=0$
  • $P(-72)=1$
    ...
  • $P(80)=8$
  • $P(99)=9$

  Et donc il y a $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ possibilités pour $x$.

  On a supposé que $x>0$, le cas ou $x$ est de signe quelconque se déduit facilement du raisonnement précédent. Il est à noté que j’ai supposé que $x$ pouvais être un nombre à 3 chiffres, ce qui compte c’est que le résultat soit à deux chiffres.

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• Août 2017, nouveau défi

  le 3 septembre 2017 à 19:08, par Papi JacK

  Voici un nouveau défi qui devrait vous intéresser :
  Suite numérique u telle que :
  u(0) = 2 et u(n+1) = (u(n) + 2 )/(2 u(n) + 1)
  Les termes de la suite sont des rationnels (sous forme de fraction irréductible) tels que la différence ente numérateur et dénominateur est alternativement 1 et -1 !
  Le démontrerez -vous ?

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• Août 2017, 1er défi

  le 4 août 2017 à 15:29, par tschmoderer

  Soit $y$ un nombre à deux chiffres, posons $z=y-x$ tel que le renversé de $z$ soit un cube. Notons $\bar{z}$ ce renversé.

  Si j’interprète bien l’énoncé le nombre obtenu $z$ est à deux chiffres, on a donc neuf possibilités pour $\bar{z}$ : $\bar{E}=\{-64,-27,-8,-1,0,1,8,27,46\}$ et donc 9 possibilités pour $z$, qui sont (en ordre croissant) : $E=\{-80,-72,-46,-10,0,10,46,72,80\}$.

  Si on suppose $x>0$, en notant $P(n)$ l’ensemble des $x$ tel que $y < n $ et $z$ appartient à $E$. Alors on voit facilement que :

  • $P(-80)=0$
  • $P(-72)=1$
    ...
  • $P(80)=8$
  • $P(99)=9$

  Et donc il y a $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ possibilités pour $x$.

  On a supposé que $x>0$, le cas ou $x$ est de signe quelconque se déduit facilement du raisonnement précédent. Il est à noté que j’ai supposé que $x$ pouvais être un nombre à 3 chiffres, ce qui compte c’est que le résultat soit à deux chiffres.

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• Août 2017, 1er défi

  le 5 août 2017 à 23:31, par drai.david

  Bonsoir,
  petite erreur de manipulation de ma part : le message du 5 août ci-dessous vous est personnellement destiné.
  Avec toute mes excuses...

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• Août 2017, 1er défi

  le 7 août 2017 à 09:02, par tschmoderer

  Bonjour,
  Merci de votre message qui m’éclaire sur le problème que j’ai mal interprété.

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• Août 2017, 1er défi

  le 5 août 2017 à 23:25, par drai.david

  Bonsoir,

  personnellement, je trouve le même résultat que Al_louarn (c’est-à-dire 22), et j’avoue n’avoir malheureusement pas compris un traitre mot de votre raisonnement...
  La première chose gênante me semble être que l’énoncé précise bien « un nombre à deux chiffres $x$ » et que vous avez « supposé que $x$ pouvait être un nombre à 3 chiffres ».
  La deuxième chose problématique est que, m’étant intéressé à la généralisation du problème pour des nombres $x$ à $n$ chiffres, il se trouve que je n’ai pas trouvé de $x$ à 3 chiffres autres que de la forme $\underline{aba}$ (il y en a donc 90, qui ajoutés aux 22 $x$ à deux chiffres donnent un total de 112 valeurs pour $x$)...

  En effet, posons $x=\underline{abc}$ et son renversé $\overline{x}=\underline{cba}$.
  On obtient $x-\overline{x}=100a+10b+c - (100c+10b+a)=99(a-c)=3^2\times 11(a-c)$.
  Or $x-\overline{x}$ doit être un cube. On voit donc que la seule possibilité est que $a=c$.
  En effet, dans le cas contraire, $⎜a-c⎜$ devrait valoir au moins $3\times 11^2=363$, ce qui est impossible, $a$ et $c$ étant des chiffres compris entre $0$ et $9$...

  Du coup, pourriez-vous m’exhiber un de vos $x$ qui ne soit pas dans la liste d’Al_louarn, mais que vous considérez tout de même comme solution au problème, et en m’expliquant pourquoi il est solution ?

  Merci d’avance,

  Cordialement.

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