Un défi par semaine

Août 2017, 4e défi

El 27 agosto 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (24)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Août 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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  • Août 2017, 4e défi

    le 31 de agosto de 2017 à 17:03, par ROUX

    Si Ana avait proposé 71/3, on aurait trouvé (a-b)^2/(a*b)=3^2/68.
    Vous auriez pu dire que 3 n’était pas divisible par 2 ou 4 ou 17: auriez-vous pu en déduire qu’alors (a-b)=3?
    a et b tels que a-b=3 et a*b=68 existent-ils entiers?
    Je suis le physicien de service qui parfois peine dans les raccourcis prodigieux des mathématicien.ne.s.
    En gros, là, de loin, pour tout dire et tenter de le dire pas trop mal, il me semble que votre raisonnement est faux...

    Répondre à ce message

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