Enoncé

La réponse est : $(p,q,r)=(3, 2, 7)$, $(5, 3, 5)$ ou $(7, 3, 2)$.

Si $p=q$, l’équation originale se réduit à $\frac{4}{r+1}=0$, et on n’obtient pas de solution. Donc, $p\neq q$, et on obtient de l’équation originale

\[\begin{eqnarray*} \frac{4}{r+1} & = & \frac{p}{q}-1=\frac{p-q}{q}\\ r+1 & = & \frac{4q}{p-q}. \end{eqnarray*}\]

D’où on voit que $p-q$ divise $4q$, donc $p-q$ peut être égal à $1, 2, 4, q, 2q$ ou $4q$. Observons que $p-q$ ne peut être égal à $q, 2q$ ou $4q$ vu que dans ce cas $p$ serait égal à $2q, 3q$ ou $5q$ ce qui est impossible, $p$ étant premier. Analysons les trois autres cas

• (i) Si $p-q=1$, alors $p$ et $q$ sont des nombres premiers consécutifs, c’est-à-dire, $q=2$, $p=3$, $r=7$.
• (ii) Si $p-q=2$, alors $p=q+2$, $r=2q-1$. Comme $q$ est un
  nombre premier, ou bien $q=3$, ou bien $q \equiv \pm 1\, (\mbox{mod}\, 3)$. Si $q=3$, alors $p=5$ et $r=5$.

Si $q \equiv 1 \,(\mbox{mod}\, 3)$, alors $p=q+2 \equiv 0\,(\mbox{mod}\, 3)$. Comme $p$ est un nombre premier, l’unique
possibilité est $p=3$, et par conséquent $q=1$, qui n’est pas un
nombre premier.

Maintenant, si $q \equiv -1 \,(\mbox{mod}\, 3)$ alors $r \equiv -2-1 \equiv 0 \,(\mbox{mod}\, 3)$. Comme $r$ est un nombre premier, l’unique possibilité est $r=3$, et alors $q=2$ et $p=4$, qui n’est pas un nombre premier.

• (iii) Si $p-q=4$ alors $r=q-1$, et $r$ et $q$ sont des nombres
  premiers consécutifs. Donc, $r=2$, $q=3$ et $p=7$.