Août 2018, 4e défi

Le 24 août 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (16)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 34

À Piedsrares, les hommes ont le pied gauche deux pointures plus grandes que le droit et les femmes une pointure plus grande. Cependant, on vend des paires de chaussures de la même pointure. Un groupe d’amis a acheté une collection de chaussures et il leur en est resté seulement deux : une de taille $21$ et une autre de taille $30$. Quel est le plus petit nombre de personnes dans le groupe ?

Solution du 3e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : ce n’est pas possible.

Supposons que oui, on peut faire une telle répartition en $11$
sous-ensembles. Alors pour chacun de ces $11$ sous-ensembles $\{a, b, c\}$, on obtient par exemple, que $a+b=c$. Ainsi $a+b+c=2c$,
donc la somme des trois entiers de chaque sous-ensemble est paire.
Par conséquent, la somme des nombres $1$, $2$, $\dots$, $33$ doit
être paire.

Pourtant
$1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ est un
nombre impair, ce qui est une contradiction. C’est pourquoi,
l’ensemble
\[\{1, 2, 3, \dots , 32, 33\}\]
ne peut pas être divisé
en 11 sous-ensembles avec les propriétés demandées.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Août 2018, 4e défi

le 25 août 2018 à 17:50, par Celem Mene

J’ai eu de la peine à me représenter ce problème, jusqu’à ce que je l’imagine comme une échelle à franchir en moins d’étapes possibles. On peut franchir deux échelons à la fois (ce qu’on aura intérêt à faire) ou un seul (seulement éventuellement à la dernière étape). On part de l’échelon 21, et on va jusqu’à l’échelon 30.

Pied droit sur le 21, gauche sur le 23.
Pied droit sur le 23, gauche sur le 25,
Pied droit sur le 25, gauche sur le 27,
Pied droit sur le 27, gauche sur le 29,
Pied droit sur le 29, gauche sur le 30 (dernière étape, à un échelon).

Et il reste un gauche 21 et un droit 30.

Cinq étapes et donc cinq personnes au minimum dans le groupe.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?