Un défi par semaine

Août 2019, 1er défi

El 2 agosto 2019  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 31

Si douze nombres strictement positifs $a_1\le a_2\le\cdots\le a_{12}$ sont tels que, dès que l’on en choisit trois parmi eux, on ne peut pas construire de triangle (non plat) dont les côtés aient pour longueurs ces trois nombres, quelle est la plus petite valeur possible de $\dfrac{a_{12}}{a_{1}}$ ?

Solution du 4e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est $8$ nombres.

Un nombre entier à deux chiffres s’écrit $10a+b$ avec $a$ et $b$ ses chiffres.

Lorsqu’on le lit à l’envers, on obtient alors $10b+a$ : on cherche donc tous les couples $(a,b)$ tels que

$10a+b+10b+a=11\times (a+b)$ soit un carré.

On doit donc avoir $11\times(a+b)=k^2$ pour un certain entier $k$.

Cependant, les entiers $a$ et $b$ sont compris entre $0$ et $9$

donc $a+b\le18$ et la seule possibilité pour que $11\times(a+b)$ soit un carré est que $a+b$ soit égal à $11$.

Finalement, les $8$ nombres possibles sont donc $29$, $38$, $47$, $56$, $65$, $74$, $83$ et $92$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Août 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - KUCHARSKI K. KUCHARSKA / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

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  • Août 2019, 1er défi

    le 2 de agosto de 2019 à 18:56, par ROUX

    En reprenant votre raisonnement dans le bon sens on pose que a12 est supérieure ou égale à a1+a2 qui est elle-même supérieure ou égale à 2a1.
    Cela donne que a12/a1 est supérieure ou égale à 2.
    Ce qui m’avait chiffonné est que si je prends par exemple a1=11, on a a12= 22.
    Donc on a par exemple les 12 entiers entre 11 et 22 dont tous (?) pris par trois font des triangles.
    Je constate que cela ne fonctionne pas mais je ne sais pas expliquer en quoi votre raisonnement est faux.

    Répondre à ce message

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