Un défi par semaine

Août 2019, 1er défi

Le 2 août 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 31

Si douze nombres strictement positifs $a_1\le a_2\le\cdots\le a_{12}$ sont tels que, dès que l’on en choisit trois parmi eux, on ne peut pas construire de triangle (non plat) dont les côtés aient pour longueurs ces trois nombres, quelle est la plus petite valeur possible de $\dfrac{a_{12}}{a_{1}}$ ?

Solution du 4e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est $8$ nombres.

Un nombre entier à deux chiffres s’écrit $10a+b$ avec $a$ et $b$ ses chiffres.

Lorsqu’on le lit à l’envers, on obtient alors $10b+a$ : on cherche donc tous les couples $(a,b)$ tels que

$10a+b+10b+a=11\times (a+b)$ soit un carré.

On doit donc avoir $11\times(a+b)=k^2$ pour un certain entier $k$.

Cependant, les entiers $a$ et $b$ sont compris entre $0$ et $9$

donc $a+b\le18$ et la seule possibilité pour que $11\times(a+b)$ soit un carré est que $a+b$ soit égal à $11$.

Finalement, les $8$ nombres possibles sont donc $29$, $38$, $47$, $56$, $65$, $74$, $83$ et $92$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - KUCHARSKI K. KUCHARSKA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Août 2019, 1er défi

    le 3 août 2019 à 13:18, par Niak

    Vous ne démontrez pas clairement que votre construction des plus petits nombres vérifiant la contrainte minimise le rapport (vous justifiez qu’elle minimise la différence, mais ce n’est pas la même chose, à moins bien sûr de considérer la différence des logarithmes, mais c’est une autre histoire).

    En l’occurrence, on a $a_3\geq a_2+a_1$, $a_4\geq a_3+a_2\geq a_2+2a_1$, $a_5 \geq 2a_2+3a_1$, etc. Et plus généralement $a_i\geq F_{i-2}a_2+F_{i-1}a_1$.

    D’où $a_{12}\geq 55a_2+89a_1\geq 144a_1$ car $a_2\geq a_1$ et donc $\frac{a_{12}}{a_1}\geq144$, borne effectivement atteinte par la construction que vous proposiez.

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