Enoncé

La solution est : $144$.

Pour trois nombres $a,b,c$,

si $0$ < $a$ < $b$ < $c$

et si $c$ < $a+b $

alors il existe un triangle dont les côtés ont pour longueurs $a$, $b$ et $c$.

Par l’hypothèse faite sur les $a_i$ et comme les valeurs de $a_i$ sont en ordre croissant, on a :
\[ a_1 + a_2\leq a_3,\quad a_2 + a_3\leq a_4,\quad a_3 + a_4\leq a_5,\quad\dots\quad a_{10}+a_{11}\le a_{12}. \]
En combinant les deux premières inégalités, on obtient :
\[ a_1 + 2a_2\leq a_4. \]
Puis, en ajoutant la première inégalité, on obtient :
\[ 2a_1 + 3a_2\leq a_5. \]
En sommant ces deux dernières inégalités, on obtient :
\[ 3a_1+5a_2\leq a_6. \]
On continue ainsi jusqu’à obtenir le terme $a_{12}$. Remarquons qu’au fur et à mesure, de la même manière que dans la suite de Fibonacci, le coefficient devant $a_1$ est obtenu en sommant les deux coefficients précédents.
Les coefficients devant $a_2$ se comportent de la même manière. Ainsi, la dernière inégalité sera :
\[ 55a_1+89a_2\leq a_{12}. \]
Comme $a_2\ge a_1$, on a nécessairement $144a_1\leq a_{12}$ et donc $\frac{a_{12}}{a_1}\ge144$.

Il est de plus possible d’atteindre cette valeur en considérant la suite de Fibonacci
$a_1=a_2=1$, $a_3=2$, $a_4=3$, $a_5=5$,... $a_{12}=144$.

Finalement, la valeur recherchée est $144$.