Août 2020, 2e défi

Le 14 août 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 33 Jean et Léa ont les $4$ dés représentés. Jean choisit un dé, puis Léa en choisit un autre. Ils les lancent et celui qui obtient le plus grand chiffre gagne. Avec quelle probabilité Léa peut-elle gagner ?

Solution du 1er défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $abc=720$.

Par somme des trois équations, on obtient $2ab+2bc+2ca=152+162+170=484$.

Alors,
\[ \begin{eqnarray*} ab &=& 242-c(a+b)=242-170=72,\\ bc &=& 242-a(b+c)=242-152=90,\\ ca &=& 242-b(a+c)=242-162=80. \end{eqnarray*}\]
Ainsi, $(abc)^2 = (ab)(bc)(ca)=(72)(90)(80)=(9\times 8)(9\times 10)(8\times 10)=8^2\times 9^2\times 10^2$,

donc $abc=8\times 9\times 10=720$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Août 2020, 2e défi

le 14 août 2020 à 10:39, par Niak

En effet, pour compléter, voici la probabilité de gain (NB : le « match nul » n’est pas possible car deux dés distincts n’ont jamais de valeur en commun) du second dé dans tous les cas (dés numérotés dans l’ordre classique de la lecture, premier dé selon la ligne, second dé selon la colonne) :
\[\begin{bmatrix} {-}&\frac{1}{3}&\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}&{-}&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\ \frac{4}{9}&\frac{2}{3}&{-}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}&{-} \end{bmatrix}\]
On remarque, si je ne me suis pas trompé, que le 1^er dé perd contre le 3^ème, qui perd contre le 2^ème, qui perd lui-même contre le 1^er. Autrement dit $D1 < D3 < D2 < D1$ formant un ensemble de dés intransitif.
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