Un défi par semaine

Août 2021, 2e défi

El 13 agosto 2021  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 32

Quelle est la probabilité qu’en choisissant au hasard deux entiers compris entre $0$ et $9$ inclus, pas forcément distincts, leur moyenne soit un nombre entier ?

Solution du 1e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $12$ hexagones.

Observons la figure suivante.

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Il y a tout d’abord l’hexagone ayant $A$ et $D$ pour sommets et qui recouvre toute la figure.

PNG - 19.1 KB

Ensuite, on cherche les hexagones ayant $A$ mais pas $D$ pour sommet.

PNG - 72.5 KB

Il y a quatre hexagones symétriques qui ont $D$ pour sommet, mais pas $A$.

Enfin, on cherche les hexagones n’ayant ni $A$ ni $D$ pour sommet.

PNG - 56.1 KB

En tout, on a donc $1+4+4+3=12$ hexagones.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Août 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Comentario sobre el artículo

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  • Août 2021, 2e défi

    le 13 de agosto de 2021 à 10:33, par Niak

    Oui, c’est certainement la réponse attendue, mais cela dépend néanmoins de ce qu’on entend par «choisir au hasard deux entiers». Si l’on considère toutes les paires (non-ordonnées) équiprobables, au lieu des couples (ordonnés), alors on aura $\binom{10 + 2 - 1}{2} = 55$ tirages dont $2\times\binom{5 + 2 - 1}{2} = 30$ ont la même parité, d’où une probabilité de $\frac{6}{11}$.

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