Un défi par semaine

Août 2021, 2e défi

Le 13 août 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 32

Quelle est la probabilité qu’en choisissant au hasard deux entiers compris entre $0$ et $9$ inclus, pas forcément distincts, leur moyenne soit un nombre entier ?

Solution du 1e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $12$ hexagones.

Observons la figure suivante.

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Il y a tout d’abord l’hexagone ayant $A$ et $D$ pour sommets et qui recouvre toute la figure.

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Ensuite, on cherche les hexagones ayant $A$ mais pas $D$ pour sommet.

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Il y a quatre hexagones symétriques qui ont $D$ pour sommet, mais pas $A$.

Enfin, on cherche les hexagones n’ayant ni $A$ ni $D$ pour sommet.

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En tout, on a donc $1+4+4+3=12$ hexagones.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Août 2021, 2e défi

    le 13 août à 07:48, par Jules Flin

    La moyenne des deux nombres est un entier si et seulement s’ils ont la même parité. Comme il y a autant d’entiers pairs que d’entiers impairs entre 0 et 9, la probabilité que les deux nombres aient la même parité vaut $\frac{1}{2}$...

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  • Août 2021, 2e défi

    le 13 août à 08:12, par Blaxapate

    Il faut (et il suffit) que les 2 nombres soient de la même parité. Chaque nombre a une chance sur deux d’être pair, donc il y a une chance sur quatre qu’ils le soient tous les deux. De même pour impair. Au total, ça fait une chance sur deux que la moyenne de la paire soit entière.

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  • Août 2021, 2e défi

    le 13 août à 10:33, par Niak

    Oui, c’est certainement la réponse attendue, mais cela dépend néanmoins de ce qu’on entend par « choisir au hasard deux entiers ». Si l’on considère toutes les paires (non-ordonnées) équiprobables, au lieu des couples (ordonnés), alors on aura $\binom{10 + 2 - 1}{2} = 55$ tirages dont $2\times\binom{5 + 2 - 1}{2} = 30$ ont la même parité, d’où une probabilité de $\frac{6}{11}$.

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  • Août 2021, 2e défi

    le 13 août à 11:27, par François

    Bien que nul en proba , je propose une troisième solution :
    Je tire un chiffre, il en reste $9$ et parmi ces $9$, $4$ ont la même parité que le chiffre tiré. Donc proba de $\displaystyle\frac {4} {9}$.

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    • Août 2021, 2e défi

      le 14 août à 10:33, par Niak

      L’énoncé précise bien « pas forcément distincts ».

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      • Août 2021, 2e défi

        le 14 août à 15:33, par François

        Je n’ai sans doute pas le même énoncé que vous. Voila ce à quoi je réponds :
        Quelle est la probabilité qu’en choisissant au hasard deux entiers entre 0 et 9 inclus, leur moyenne soit un nombre entier ? énoncé sur http://images.math.cnrs.fr/
        Le lien suivant, là où a lieu notre discussion http://images.math.cnrs.fr/-5994.html reprend le dessin de la semaine précédente ( pourquoi ?) et a effectivement l’énoncé suivant (depuis quand ? )
        Quelle est la probabilité qu’en choisissant au hasard deux entiers compris entre 0 et 9 inclus, pas forcément distincts, leur moyenne soit un nombre entier . Au vu de la figure j’ai zappé le texte qui suivait.
        D’ailleurs j’aurais du recevoir votre réponse d’abord sur ma boite mèl, ce qui n’a pas été le cas. Sur ce défi le site ne semble pas avoir été à la hauteur.
        En tout cas : deux problèmes différents, deux solutions différentes.
        Merci de me l’avoir signaler. Je ne comprenais pas trop vos $10 + 2 - 1$ ou $ 5 + 2 - 1$.

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        • Août 2021, 2e défi

          le 14 août à 16:03, par Niak

          Ah oui, en effet, la page d’accueil reprend un texte légèrement différent.
          Mon hypothèse concernant la figure (qui est celle du défi de la semaine dernière) est que les défis d’été ont tous été planifiés en même temps, très en amont, et que l’autrice s’est d’abord trompé dans leur ordre, puis a du intervertir/décaler des textes par la suite. Cela expliquerait que sous le défi de la semaine dernière, il y ait une réponse datant de la fin juin (venant de quelqu’un qui y a eu accès en avance via une publication précoce sur le flux RSS) au défi de la semaine précédente.

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          • Août 2021, 2e défi

            le 16 août à 11:36, par Celem Mene

            Oui, les questions semblent prépubliées : URL avec chiffre précédé habituellement du mot test (exemple : http://images.math.cnrs.fr/test-5971.html), puis publiées définitivement sous la forme habituelle : http://images.math.cnrs.fr/Aout-2021-2e-defi.html.

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            • Août 2021, 2e défi

              le 18 août à 10:41, par zahlen

              je ne comprends pas la précision « pas forcément distincts » les nombres de 0 à 9 sont tous distincts ?

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              • Août 2021, 2e défi

                le 18 août à 11:13, par Niak

                Cela signifie que le tirage de deux nombres identiques est possible (deux fois $0$, deux fois $1$, etc, dans tous ces cas la moyenne est entière).

                Répondre à ce message

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