Commentaire sur l'article

• Août 2021, 4e défi

  le 27 août 2021 à 09:30, par Al_louarn

  Notons $u_n$ le nombre en position $n$.
  On remarque que $u_n = n + 1 + 2 +... + k$ pour $4k + 1 + 2 + ... + (k-1) < n \leq 4(k+1) + 1 + 2 + ... + k$.
  Autrement dit, $u_n = n + \dfrac{k(k+1)}{2}$ où $k$ est le plus grand entier vérifiant $4k + \dfrac{k(k-1)}{2} < n$, ou plus simplement $k(k+7) -2n < 0$.
  On résout donc l’équation $x^2 + 7x -2n = 0$, et l’on trouve une seule racine positive qui est $\dfrac{-7+\sqrt{8n+49}}{2}$.
  Pour $n=500000$ on trouve $x=996,5$ et des poussières , donc $k=996$ et $u_{500000} = 996506$.

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• Août 2021, 4e défi

  le 28 août 2021 à 12:53, par orion8

  On pose $L_1=(1,2,3,4)$, $L_2=(6,7,8,9,10)$, etc.
  $L_n$ comprend $n+3$ termes.
  Le dernier nombre de $L_{n}$ a donc pour rang dans la suite : $4+5~+...+~(n+3)=\dfrac{n(n+7)}{2}$.
  Le plus petit entier $n$ tel que $\dfrac{n(n+7)}{2}$ dépasse $500~000$ est $997$.
  C’est donc $L_{997}$ qui contient le terme de rang $500~000$.

  On montre (récurrence facile) que le 1er nombre de $L_n$ est $(n+1)^2-3$, soit $998^2-3=996~001$ pour $L_{997}$.
  Le rang du dernier nombre de $L_{996}$ est $\dfrac{n(n+7)}{2}$ avec $n=996$, soit $499~494$ et donc un rang de $499~495$ pour le 1er nombre de $L_{997}$.
  Pour atteindre le $500~000^e$ nombre de la suite, on ajoute $505$ à $996~001$, et on retrouve bien $996~506$.

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• Août 2021, 4e défi

  le 30 août 2021 à 13:00, par orion8

  Un petit programme Python (certainement rempli de maladresses, merci de contribuer à m’améliorer !)
  défi(500000) donne bien 996506.

  Document joint : capture-3.png
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• Août 2021, 4e défi

  le 30 août 2021 à 11:59, par ROUX

  On a à faire avec une suite par paquets d’entiers consécutifs : premier paquet de $4$ entiers puis deuxième paquet de $5$ entiers, etc..
  A partir du tableau joint, j’ai établi les formules pour le $p$ième paquet de chiffres.
  Début $N(p)$ du $p$ième paquet : $N=((p+1)^2-3)$
  Largeur du $p$ième paquet : $(p+3)$
  Début du $p$ième paquet moins position $P(p)$ de ce début : $N(p)-P(p)=p(p-1)/2$
  En injectant dans la relation précédente la formule de $N(p)$ on arrive à :
  $p^2 + 5p - 1000004=0$
  puisque $P(p)=500000$.
  La partie entière de la racine positive de cette équation est $997$ et on choisit donc $p=997$.
  Alors :
  $N(997)=996001$ et $P(997)=499495$ qui indiquent que le début de ce $997$ème paquet est à la position n° $499495$ et que ce début est l’entier $996001$.
  Il faut compter encore $500000-499495=505$ entiers avant d’arriver à la $500000$ème position et nous resteront dans ce paquet puisque sa largeur est supérieure à $505$ (elle est égale à $997+3=1000$).
  L’entier à la $500000$ème place de cette suite est donc $996001+505=996506$.

  Document joint : suite_pour_position_500000.png
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• Août 2021, 4e défi

  le 30 août 2021 à 18:22, par drai.david

  Résolution pour toute position $n$ :
  Soit $u_n$ le terme de rang $n$ et $k$ le nombre d’entiers consécutifs que contient le dernier paquet complet.
  $k$ est donc le plus grand entier qui vérifie $4+5+...+k \leq n$.
  On obtient, après calcul : $k=\left \lfloor \frac{-1+\sqrt{49+8n}}{2} \right \rfloor$.
  On a alors deux cas possibles :
  – Si $49+8n$ est un carré parfait, alors $u_n=k(k-3)$ ;
  – sinon, $u_n=n+\frac{(k-2)(k-3)}{2}$.

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• Août 2021, 4e défi

  le 31 août 2021 à 09:06, par drai.david

  En fait, à bien y réfléchir, on peut éviter la disjonction de cas :
  $\forall n\in {\mathbb{N}}^*, u_n=n+\frac{k(k+1)}{2}$, avec $k=\left \lceil \frac{-9+\sqrt{49+8n}}{2} \right \rceil$.

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