Un défi par semaine

Août 2021, 4e défi

Le 27 août 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 34
Construisons une suite de nombres de cette manière : on écrit les quatre premiers entiers, puis on en saute un ; on écrit les cinq entiers suivants, puis on en saute deux ; on écrit les six entiers suivants, puis on en saute trois, et ainsi de suite : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $13$, $\ldots$.

Quel est le nombre en position $500\,000$ de cette suite ?

Solution du 3e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : un carré.

Si $ABCD$ est le rectangle en question, notons $E$, $F$, $G$ et $H$ les centres des carrés construits.

Considérons les quatre triangles grisés sur la figure ci-dessous.

PNG - 50.9 ko

Chacun est formé de deux sommets consécutifs d’un carré, ainsi que du centre du carré construit sur ce côté.

On peut en déduire que ses angles internes mesurent $45^\circ$, $45^\circ$ et $90^\circ$.

Ainsi, le quadrilatère $EFGH$ est un rectangle. De plus, les triangles $ABE$ et $CDG$ sont superposables, ainsi que les triangles $BCF$ et $DAH$.

On en déduit que les longueurs des côtés de $EFGH$ sont égales. Ainsi, ce quadrilatère est un carré.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Août 2021, 4e défi

    le 27 août à 09:30, par Al_louarn

    Notons $u_n$ le nombre en position $n$.
    On remarque que $u_n = n + 1 + 2 +... + k$ pour $4k + 1 + 2 + ... + (k-1) < n \leq 4(k+1) + 1 + 2 + ... + k$.
    Autrement dit, $u_n = n + \dfrac{k(k+1)}{2}$ où $k$ est le plus grand entier vérifiant $4k + \dfrac{k(k-1)}{2} < n$, ou plus simplement $k(k+7) -2n < 0$.
    On résout donc l’équation $x^2 + 7x -2n = 0$, et l’on trouve une seule racine positive qui est $\dfrac{-7+\sqrt{8n+49}}{2}$.
    Pour $n=500000$ on trouve $x=996,5$ et des poussières , donc $k=996$ et $u_{500000} = 996506$.

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    • Août 2021, 4e défi

      le 28 août à 12:53, par orion8

      On pose $L_1=(1,2,3,4)$, $L_2=(6,7,8,9,10)$, etc.
      $L_n$ comprend $n+3$ termes.
      Le dernier nombre de $L_{n}$ a donc pour rang dans la suite : $4+5~+...+~(n+3)=\dfrac{n(n+7)}{2}$.
      Le plus petit entier $n$ tel que $\dfrac{n(n+7)}{2}$ dépasse $500~000$ est $997$.
      C’est donc $L_{997}$ qui contient le terme de rang $500~000$.

      On montre (récurrence facile) que le 1er nombre de $L_n$ est $(n+1)^2-3$, soit $998^2-3=996~001$ pour $L_{997}$.
      Le rang du dernier nombre de $L_{996}$ est $\dfrac{n(n+7)}{2}$ avec $n=996$, soit $499~494$ et donc un rang de $499~495$ pour le 1er nombre de $L_{997}$.
      Pour atteindre le $500~000^e$ nombre de la suite, on ajoute $505$ à $996~001$, et on retrouve bien $996~506$.

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    • Août 2021, 4e défi

      le 30 août à 13:00, par orion8

      Un petit programme Python (certainement rempli de maladresses, merci de contribuer à m’améliorer !)
      défi(500000) donne bien 996506.

      Document joint : capture-3.png
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  • Août 2021, 4e défi

    le 30 août à 11:59, par ROUX

    On a à faire avec une suite par paquets d’entiers consécutifs : premier paquet de $4$ entiers puis deuxième paquet de $5$ entiers, etc..
    A partir du tableau joint, j’ai établi les formules pour le $p$ième paquet de chiffres.
    Début $N(p)$ du $p$ième paquet : $N=((p+1)^2-3)$
    Largeur du $p$ième paquet : $(p+3)$
    Début du $p$ième paquet moins position $P(p)$ de ce début : $N(p)-P(p)=p(p-1)/2$
    En injectant dans la relation précédente la formule de $N(p)$ on arrive à :
    $p^2 + 5p - 1000004=0$
    puisque $P(p)=500000$.
    La partie entière de la racine positive de cette équation est $997$ et on choisit donc $p=997$.
    Alors :
    $N(997)=996001$ et $P(997)=499495$ qui indiquent que le début de ce $997$ème paquet est à la position n° $499495$ et que ce début est l’entier $996001$.
    Il faut compter encore $500000-499495=505$ entiers avant d’arriver à la $500000$ème position et nous resteront dans ce paquet puisque sa largeur est supérieure à $505$ (elle est égale à $997+3=1000$).
    L’entier à la $500000$ème place de cette suite est donc $996001+505=996506$.

    Document joint : suite_pour_position_500000.png
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  • Août 2021, 4e défi

    le 30 août à 18:22, par drai.david

    Résolution pour toute position $n$ :
    Soit $u_n$ le terme de rang $n$ et $k$ le nombre d’entiers consécutifs que contient le dernier paquet complet.
    $k$ est donc le plus grand entier qui vérifie $4+5+...+k \leq n$.
    On obtient, après calcul : $k=\left \lfloor \frac{-1+\sqrt{49+8n}}{2} \right \rfloor$.
    On a alors deux cas possibles :
    – Si $49+8n$ est un carré parfait, alors $u_n=k(k-3)$ ;
    – sinon, $u_n=n+\frac{(k-2)(k-3)}{2}$.

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  • Août 2021, 4e défi

    le 31 août à 09:06, par drai.david

    En fait, à bien y réfléchir, on peut éviter la disjonction de cas :
    $\forall n\in {\mathbb{N}}^*, u_n=n+\frac{k(k+1)}{2}$, avec $k=\left \lceil \frac{-9+\sqrt{49+8n}}{2} \right \rceil$.

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