Un défi par semaine

Août 2022, 4e défi

Le 26 août 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 34

Un point à l’intérieur d’un carré est tel que les distances qui le séparent de trois des quatre sommets du carré valent $3$ cm, $3$ cm et $7$ cm. Combien vaut la distance qui le sépare du quatrième sommet ?

Solution du 3e défi d’août 2022 :

Enoncé

Réponse : 12

Puisqu’on a « le droit » à deux voyelles et trois consonnes, un tel mot a forcément pour structure $CVCVC$, $C$ désignant une consonne et $V$ une voyelle. Pour construire un tel mot, il s’agit de choisir dans quel ordre on va placer les deux voyelles $A$ et $E$ (il y a deux possibilités) et dans quel ordre on va placer les trois consonnes $B$, $C$ et $D$ (il y a trois choix pour la première, puis deux pour la deuxième, et enfin un seul pour la dernière, donc six choix au total).

Ainsi, on peut former $2 \times 6 = 12$ tels mots.

Il est d’ailleurs aisé de les lister explicitement : par ordre alphabétique, il s’agit de $BACED$, $BADEC$, $BECAD$, $BEDAC$, $CABED$, $CADEB$, $CEBAD$, $CEDAB$, $DABEC$, $DACEB$, $DEBAC$ et $DECAB$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Août 2022, 4e défi

    le 26 août à 10:31, par Mihaela J

    7 cm.

    Les sommets qui sont à distance 3 de notre point ne peuvent pas être opposés car sinon la diagonale serait plus petite que 6 et c’est un contradiction avec le segment de 7.
    Le point se trouve sur la médiatrice d’un coté qui est aussi la médiatrice du coté opposé.
    Donc même distance : 7.

    Remarque : on peut aussi placer le problème dans un rectangle. Si c’est un carré on peut surtout déterminer le coté. (dans notre cas c’est une valeur assez moche).

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  • Août 2022, 4e défi

    le 26 août à 10:59, par Al_louarn

    Soient $P$ le point intérieur et $A, B, C$ les sommets respectivement à distance $3, 3, 7$ de $P$.
    Si $A$ et $B$ étaient opposés, les diagonales du carré seraient de longueur $AB \leq AP + PB$, soit $AB \leq 6$. Mais c’est impossible car elles sont plus longues que $PC = 7$.
    Donc $A$ et $B$ sont du même côté, et $P$ est sur la médiatrice de ce côté, qui est un axe de symétrie du carré. Le quatrième sommet est le symétrique de $C$ par rapport à cet axe, donc lui aussi à $7$ cm de $P$.

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  • Août 2022, 4e défi

    le 29 août à 18:20, par Blaxapate

    Donc, le point est sur la médiatrice d’un côté, nous sommes d’accord. Cependant, dans ce cas, le carré doit avoir un côté ≤6cm. La distance maximale entre notre point et les sommets du carré est réalisée lorsque le point est sur l’arrête du carré, donc la distance réelle est ≤√(5a²/4)≤√(45)<7. Donc, la configuration en question n’est pas possible.

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    • Août 2022, 4e défi

      le 30 août à 15:13, par Mihaela J

      La dernière inégalité que vous écrivez doit être dans l’autre sens et doit tenir compte que le point d’est pas collé au coté.

      Si on s’en tient aux inégalités triangulaires on a : $a < 3+3$ et $7 < a+3$. Donc $ 4< a < 6$.

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    • Août 2022, 4e défi

      le 30 août à 17:16, par Mihaela J

      Toutes mes excuses, vous avez raison.

      La configuration n’est pas possible. La valeur de 7 ne doit pas dépasser la longueur de la diagonale dans le rectangle qui se forme.

      Mes calculs pour le calcul de $a$ sont justes, mais le triangle qui se forme avec les cotés 3, 7 et $a$ est obtus. (et donc mon point est à l’extérieur).

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  • Août 2022, 4e défi

    le 30 août à 15:32, par Mihaela J

    La configuration ressemble à celle de l’image. (modulo des valeurs exactes).

    Pour calculer le coté du carré, notons le $a$, on examine de très près l’aire du triangle du haut.
    Son aire est un quart de l’aire du carré car le sommet donné par le point intérieur est sur la médiatrice.

    Si on calcule $ p = \displaystyle \frac{a+3 + 7}{2}$, en appliquant la formule de Héron pour l’aire du triangle on a :
    \[ \sqrt{p(p-a)(p-3)(p-7)} = \displaystyle \frac{a^2}{4} \]
    d’où :
    \[ p(p-a)(p-3)(p-7) = \displaystyle \frac{a^4}{16} \]
    et encore :
    \[ \displaystyle \frac{a+10}{2} \displaystyle \frac{10 - a}{2} \displaystyle \frac{a+4}{2} \displaystyle \frac{a-4}{2} = \displaystyle \frac{a^4}{16} \]

    En résolvant l’équation on obtient :
    \[ a = \sqrt{29 \pm \sqrt{41}} \]

    Document joint : carre-5.png
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    • Août 2022, 4e défi

      le 1er septembre à 10:30, par François

      Cas 1 $a=\sqrt {29+ \sqrt{41}}$

      Document joint : cas1.jpg
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    • Août 2022, 4e défi

      le 1er septembre à 10:30, par François

      Cas 2 $a=\sqrt {29- \sqrt{41}}$

      Document joint : cas2.jpg
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    • Août 2022, 4e défi

      le 15 septembre à 09:37, par Ana Rechtman

      Bonjour,

      Il me semble qu’il y a un erreur dans votre calcul car $p-a=10$ et non $10-a$.

      Mais sauf le resultat final, tout est bien.

      Merci.

      Ana

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  • Août 2022, 4e défi

    le 31 août à 18:42, par Didier Roche

    Généralisation
    Soit ABCD un carré et M un point du plan alors MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2 ?
    preuve :
    Soit O le centre du carré.
    MA^2 + MC^2 = (vecteurMO +vecteurOA)^2 +(vecteurMO + vecteurOC)^2 = MO^2 +OA^2 + 2 vecteurMO.vecteurOA + MO^2 +OC^2 + 2 vecteurMO.vecteurOC = 2 MO^2 + OA^2+OC^2 +2 vecteurMO.(vecteurOA +vecteurOC)
    Or O milieu de [AC] d’où vecteurOA +vecteurOC = vecteur nul
    Donc MA^2 + MC^2 = 2 MO^2 + OA^2+OC^2
    De même MB^2 + MD^2 = 2 MO^2 + OB^2+OD^2
    Et l’égalité est vérifiée.
    En appliquant ce résultat au défi nous obtenons facilement la solution.

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