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Un défi par semaine

Août 2014, 2ème défi

Le 8 août 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 32 :

Quel est le nombre maximum d’entiers de $1$ à $10$ qu’on peut écrire sur une ligne, sans répétition, de sorte que pour deux nombres consécutifs quelconques l’un soit toujours multiple de l’autre ?

Solution du 1er défi de Août

Enoncé

La réponse est $(p,q,r)=(3, 2, 7)$, $(5, 3, 5)$ ou $(7, 3, 2)$.

Si $p=q$, l’équation originale se réduit à $\frac{4}{r+1}=0$, et on n’obtient pas de solution. Donc, $p\neq q$, et on obtient de l’équation originale

$\frac{4}{r+1} = \frac{p}{q}-1=\frac{p-q}{q}$

$r+1 = \frac{4q}{p-q}.$

D’où on voit que $p-q$ divise $4q$, donc $p-q$ peut être égal à $1, 2, 4, q, 2q$ ou $4q$. Observons que $p-q$ ne peut être égal à $q, 2q$ ou $4q$ vu que dans ce cas $p$ serait égal à $2q, 3q$ ou $5q$ ce qui est impossible, $p$ étant premier. Analysons les trois autres cas.

  • Si $p-q=1$, alors $p$ et $q$ sont des nombres premiers consécutifs, c’est-à-dire, $q=2$, $p=3$, $r=7$.
  • Si $p-q=2$, alors $p=q+2$, $r=2q-1$. Comme $q$ est un nombre premier, ou bien $q=3$, ou bien $q \equiv \pm 1 [3]$. Si $q=3$, alors $p=5$ et $r=5$.

Si $q \equiv 1 [3]$, alors $p=q+2 \equiv 0 [3]$. Comme $p$ est un nombre premier, l’unique possibilité est $p=3$, et par conséquent $q=1$, qui n’est pas un nombre premier.

Maintenant, si $q \equiv -1 [3]$ alors $r \equiv -2-1 \equiv 0 [3]$. Comme $r$ est un nombre premier, l’unique possibilité est $r=3$, et alors $q=2$ et $p=4$, qui n’est pas un nombre premier.

  • Si $p-q=4$ alors $r=q-1$, et $r$ et $q$ sont des nombres premiers consécutifs. Donc, $r=2$, $q=3$ et $p=7$.
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La quartique de Klein, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Août, 2ème défi

    le 8 août 2014 à 14:27, par Creux

    Neuf nombres. (Il y a plusieurs possibilités.)

    Et si on veut utiliser le 7, la chaîne ne peut pas attendre plus de huit nombres.

    Répondre à ce message

    • Août, 2ème défi

      le 8 août 2014 à 14:30, par Creux

      *atteIndre* bien sûr, ça m’apprendre à me relire...

      Répondre à ce message

  • Août, 2ème défi

    le 8 août 2014 à 17:32, par Daniate

    Certes, mais avec les nombres de 0 à 10 on a une liste complète de longueur 11. De plus , si on s’autorise les relatifs en oubliant les bornes, c’est une liste de 25 nombres que l’on peut construire au maximum.

    Répondre à ce message

  • Août, 2ème défi

    le 8 août 2014 à 21:55, par Creux

    Qu’entendez-vous par « en oubliant les bornes » ?

    Vu qu’il n’y a que 21 nombres de -10 à 10, comment peut-on en utiliser 25 sans répétition ?

    À l’inverse, si on s’autorise tous les entiers, alors il n’y a aucune limitation. Il suffit par exemple de prendre la suite (infinie) des puissances de 2.

    Répondre à ce message

  • Août, 2ème défi

    le 8 août 2014 à 23:07, par Daniate

    En fait, la liste contient les entiers de -12 à 12. Je voulais conserver une liste de nombres consécutifs. Mon texte est donc impropre, j’aurai du dire « en modifiant les bornes » .

    Répondre à ce message

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