Un défi par semaine

Août 2014, 5ème défi

El 29 agosto 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 35 :

On veut faire des cartes pour représenter les nombres de $000$ à $999$. Chaque carte a un numéro, et certaines cartes représentent $2$ nombres à la fois. Par exemple, en tournant la carte avec le $618$ on obtient la carte $819$. Si seules les cartes formées à partir des chiffres $0$, $1$, $6$, $8$ et $9$ peuvent être lues dans les deux sens, combien de cartes doit-on faire?

Solution du 4ème défi de Août

Enoncé

La réponse est non.

Supposons que oui, on peut faire une telle répartition en $11$ sous-ensembles. Alors pour chacun de ces $11$ sous-ensembles $\{a, b, c\}$, on obtient par exemple, que $a+b=c$. Ainsi $a+b+c=2c$, donc la somme des trois entiers de chaque sous-ensemble est paire. Par conséquent, la somme des nombres $1$, $2$, $\dots$, $33$ doit être paire. Pourtant, $1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ est un nombre impair, ce qui est une contradiction. C’est pourquoi, l’ensemble $\{1, 2, 3, \dots, 32, 33\}$ ne peut pas être divisé en 11 sous-ensembles avec les propriétés demandées.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Août 2014, 5ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - La quartique de Klein, par Jos Leys

Comentario sobre el artículo

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  • Août, 5ème défi

    le 29 de agosto de 2014 à 09:47, par Lina

    Jamais deux sans trois: après réintégration de 6 cas négligés: 890 cartes

    Répondre à ce message

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