Un défi par semaine

Août 2014, 5ème défi

Le 29 août 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 35 :

On veut faire des cartes pour représenter les nombres de $000$ à $999$. Chaque carte a un numéro, et certaines cartes représentent $2$ nombres à la fois. Par exemple, en tournant la carte avec le $618$ on obtient la carte $819$. Si seules les cartes formées à partir des chiffres $0$, $1$, $6$, $8$ et $9$ peuvent être lues dans les deux sens, combien de cartes doit-on faire ?

Solution du 4ème défi de Août

Enoncé

La réponse est non.

Supposons que oui, on peut faire une telle répartition en $11$ sous-ensembles. Alors pour chacun de ces $11$ sous-ensembles $\{a, b, c\}$, on obtient par exemple, que $a+b=c$. Ainsi $a+b+c=2c$, donc la somme des trois entiers de chaque sous-ensemble est paire. Par conséquent, la somme des nombres $1$, $2$, $\dots$, $33$ doit être paire. Pourtant, $1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ est un nombre impair, ce qui est une contradiction. C’est pourquoi, l’ensemble $\{1, 2, 3, \dots, 32, 33\}$ ne peut pas être divisé en 11 sous-ensembles avec les propriétés demandées.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2014, 5ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La quartique de Klein, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?