Août 2014, 5ème défi

Le 29 août 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 35 :

On veut faire des cartes pour représenter les nombres de $000$ à $999$. Chaque carte a un numéro, et certaines cartes représentent $2$ nombres à la fois. Par exemple, en tournant la carte avec le $618$ on obtient la carte $819$. Si seules les cartes formées à partir des chiffres $0$, $1$, $6$, $8$ et $9$ peuvent être lues dans les deux sens, combien de cartes doit-on faire ?

Solution du 4ème défi de Août

Enoncé

La réponse est non.

Supposons que oui, on peut faire une telle répartition en $11$ sous-ensembles. Alors pour chacun de ces $11$ sous-ensembles $\{a, b, c\}$, on obtient par exemple, que $a+b=c$. Ainsi $a+b+c=2c$, donc la somme des trois entiers de chaque sous-ensemble est paire. Par conséquent, la somme des nombres $1$, $2$, $\dots$, $33$ doit être paire. Pourtant, $1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ est un nombre impair, ce qui est une contradiction. C’est pourquoi, l’ensemble $\{1, 2, 3, \dots, 32, 33\}$ ne peut pas être divisé en 11 sous-ensembles avec les propriétés demandées.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Août, 5ème défi

le 29 août 2014 à 16:24, par Bernard Hanquez

Sur les 1000 nombres, 875 comprennent au moins un chiffre différent de 0, 1, 6, 8 et 9. Ces 875 nombres nécessitent donc une carte chacun.

125 nombres ne comprennent que des 0, 1, 6, 8, et 9, mais 15 d’entre eux sont identiques une fois retournés (181 par exemple) ce qui nécessite 15 cartes.

Il reste donc 110 nombres qui une fois retournés donnent un nombre différent, ce qui nécessite 55 cartes.

Le nombre de cartes nécessaire est donc de 875 + 15 + 55 = 945.

nota : le nombre 890 donné par Lina et le nombre de cartes qui ne peuvent être utilisées qu’une seule fois.
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